Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2022-1

Computación Científica, Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales

Hola

Bienvenidos al curso de solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.

Primera reunión lunes 30 de agosto a la hora de clase por el meet de Classroom

Introducción: Las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en todas las matemáticas aplicadas, y nos permiten modelar problemas prácticos como la predicción del clima, el diseño eficiente de aviones y los rápidos autos de carreras, así como la evaluación de las potenciales ganancias de inversiones en acciones financieras.

Hay una cuestión que aparece de manera natural cuando estudiamos ecuaciones diferenciales parciales: ¿podemos encontrar una solución a una ecuación diferencial parcial dada, ya sea analítica, esto es escribir una fórmula explícita en términos de cantidades conocidas como la posición y el tiempo; o ya sea numéricamente, esto es, usando una computadora para aproximar la solución continua en un sentido didscreto?

Resulta que las soluciones analíticas sólo se pueden obtener en casos especiales; mientras que las computadoras nos permiten calcular la solución numérica en "casi cualquier caso" donde la solución hace sentido desde una pesrpectiva práctica. Más aún, en muchas ocasiones una simulación numérica nos da luz acerca de resultados analíticos por demostrar.

Luego entonces, el objetivo del curso es introducir las ideas básicas en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales a través de la exploración de los métodos de diferencias finitas. Se abordarán algunos problemas de intéres práctico, las matemáticas tras la ecuación diferencial parcial a estudiar (al menos lo necesario), las matemáticas tras la discretización, y finalmente la implementación en una computadora de la discretización, asi como la evaluación de los resultados obtenidos.

Requisitos: Para este curso se tienen dos clases de requisitos

Obligatorios: Cálculo diferencial e integral I-IV, Algebra lineal I-II, programación, Ecuaciones diferenciales I, análisis numérico I.

Opcionales: Variable compleja I, Análisis matemático I, Ecuaciones diferenciales parciales I (se recomienda llevarla al mismo tiempo que el curso)

Temario

1. Introducción.

1.1. Ejemplos y conceptos básicos en ecuaciones diferenciales parciales.

1.2. Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales.

1.3. Aproximación de derivadas parciales por diferencias finitas.

1.4. Un problema de valor en la frontera en ecuaciones diferenciales ordinarias.

2. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas.

2.1 Problema de Dirichlet en un dominio cuadrado para la ecuación de Poisson

2.2. Problema de Neumann en un dominio cuadrado para la ecuación de Poisson.

2.3. Ecuaciones elipticas en coordenadas polares.

2.4. Ecuaciones elípticas en dominios no rectangulares.

2.5. Ecuaciones elípticas nolineales.

3. Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas

3.1. La ecuación de calor en una dimensión: métodos explícitos e implícitos.

3.2. Consistencia, estabilidad y convergencia: Teorema de equivalencia de Lax.

3.3. Ecuaciones parabólicas bidimensionales.

3.4. Ecuaciones parabólicas en coordenadas polares.

3.5. Ecuaciones parabólicas nolineales.

4. Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas.

4.1. Problemas de valor inicial.

4.2. Condición de Courant-Friedrics- Lewy.

4.3. Condiciones de frontera numéricas.

4.4. Disipación y dispersión.

4.5. Ecuaciones hiperbólicas bidimensionales.

4.6. Reconstrucción de ondas de choque y ecuaciones hiperbólicas nolineales.

Bibliografía

1. D. F. Griffiths, J. W. Dold and D. J. Silvester, Essential partial differential equations: analytical and Computational aspects, Springer Verlag, 2015.
2. M. Holmes, Introduction to numerical methods in differential equations, Springer Verlag, 2007.
3. H.P. Langtangen, and S. Linge, Finite difference computing with PDE: a modern software approach, Springer Verlag, 2017.
4. R. J. Leveque, Finite difference methods for ordinary and partial differential equations, SIAM, 2007.
5. R.M.M. Matheij, S. W. Rienstra and ten J. H. M. Boonkkamp, Partial differential equations,: Modeling, analysis and computation, Springer Verlag, 2007.

Forma de trabajo: se darán clases a través de Google Meet los lunes, miércoles y viernes. Y los archivos del curso se dejaran el Clasroom:

Los martes y jueves habrán clases prácticas, en las cuales usaremos MATLAB, recuerde que si no lo tienen lo pueden bajar de la página de la UNAM

https://www.software.unam.mx/producto/matlab/

Evaluación: La evaluación básicamente se compone de: tareas semanales, las cuales cuentan el 50%, prácticas guíadas, que cuentan el 10%, prácticas independientes que cuentan el 20%, un proyecto final que cuenta el 30%.

Cualquier duda pueden escribir a mí correo electrónico: numerico_mejia@hotmail.com

Bienvenidos al curso.