Física (plan 2002) 2022-1

Optativas, Temas Selectos de Física Matemática y Teórica I

Se invita a los interesados a comunicarse conmigo al correo gastond@ciencias.unam.mx

El horario tentativo del curso sería los ma y ju de 12 a 13 hrs.

El método de evaluación será por tareas (60%) y un examen final consistente en un ensayo sobre un tema del curso (40%). Se dejarían 1 o 2 tareas por clase para ser entregadas una semana después.

El decaimiento cuántico y los postulados de la mecánica cuántica

La ley del decaimiento exponencial derivada por George Gamow en los albores de la mecánica cuántica hace casi 100 años para describir el decaimiento de partículas alfa en núcleos radioactivos constituyó una de las primeras aplicaciones de la mecánica cuántica a un sistema real. Para ello, Gamow impuso condiciones a la frontera de onda saliente a las soluciones de la ecuación de Schrödinger del problema, las cuales implican valores propios complejos de la energía, donde la parte imaginaria es la cantidad responsable del decaimiento. Esto constituyó una formulación no hermitiana del proceso de decaimiento. Unos cuantos años después, los libros de Dirac y Von Neuman completaron en gran medida la formulación actual de la mecánica cuántica, la cual se refleja en los postulados de la misma, y en donde se establece en particular que los valores propios de la energía deben de ser cantidades reales, lo cual constituye una formulación hermitiana. Sin embargo, la ley de decaimiento exponencial ha sido verificada ampliamente en muy diversos sistemas cuánticos y ello hace entrever que hay aspectos más profundos de la teoría cuántica que se dejaron de lado en su formulación. El curso elabora sobre esta problemática.

1. Introducción. Los postulados de la mecánica cuántica. Sistemas cuánticos abiertos y cerrados. El efecto túnel. El efecto túnel resonante. La solución de onda saliente (radiativa) de la ecuación de Schrödinger. La ley del decaimiento exponencial. La dispersión cuántica y la noción de resonancia.

2. Funciones de Green y evolución temporal. La función de Green retardada dependiente del tiempo. Propiedades analíticas de la función de Green de onda saliente. Soluciones regulares e irregulares de la ecuación de Schrödinger y la función de Jost.

3. Descripción hermitiana de la evolución temporal. La función de Green de onda saliente y las funciones de onda del contínuo de energías. Completez y desarrollos de funciones de onda del contínuo. La evolución temporal del decaimiento cuántico usando funciones de onda del contínuo.

4. Descripción no hermitiana de la evolución temporal. La noción de estado resonante. Relación de los estados resonantes con la función de Green de onda saliente. Normalización y completez de funciones resonantes. Evolución temporal del decaimiento cuántico usando estados resonantes. Análisis de los regímenes del decaimiento cuántico.

5. Ejemplos de la descripciones hermitiana y no hermitiana.

6. Discusión de aspectos fundamentales de las descripciones hermitiana y no hermitiana. Producto interno. Valores esperados. Relaciones de incertidumbre de Heisenberg. La regla de Born. Unitaridad.

Referencias:

1. G. García-Calderón, ‘Theory of resonant states: An exact analytical approach for open quantum systems’, Adv. Quan. Chem. 60, 407 (2010).

2. Gastón García-Calderón, Alejandro Máttar y Jorge Villavicencio, ‘Hermitian and Non-Hermitian formulations of the time evolution of quantum decay’, Phys. Scr. T15, 014076 (2012).

3. G. García-Calderón y R. Romo, ‘Nonexponential tunneling decay of a single ultracold atom’, Phys. Rev. A 93, 022118 (2016).

4. García-Calderón G. y Chaos-Cador L., `Underlying non-Hermitian character of the Born rule in open quantum systems´ Fortschritte der Physik, 65, 1600037 (2017).

5. G. García-Calderón y J. Villavicencio, ‘Heisenberg uncertainty relations for the non-Hermitian resonance-state solutions to the Schrödinger equation’, Phys. Rev. A 99, 022108 (2019).

6. G. García-Calderón y R. Romo, `Unitarity of qantum tunneling decay for an analytical exact non-Hermitian resonnt-state approach´, Ann. Phys. 424, 168348 (2021).

7. R. G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, Second edition, Dover (2002).