Física Biomédica (plan 2015) 2022-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal

Contacto: dabn@ciencias.unam.mx ó https://t.me/dabnciencias (@dabnciencias, desde Telegram).

Álgebra Lineal

Objetivo del curso

Sentar bases teóricas sólidas de álgebra lineal para diversas aplicaciones que serán útiles en materias del plan de estudios, tales como Cálculo Avanzado, Ecuaciones Diferenciales, Matemáticas Avanzadas, Introducción a la Física Cuántica y Mecánica Cuántica, Algoritmos Computacionales y Física Computacional, entre otras.

Dinámica del curso en línea

Este curso está diseñado para que l@s estudiantes aprendan álgebra lineal de manera mayormente autodidacta, a la vez que se les da acompañamiento en los temas del curso mediante sesiones cortas de asesoría en línea. Por lo tanto, la mayor parte del curso se llevará a cabo a través de actividades asíncronas, y éste requiere de un fuerte compromiso de parte de cada estudiante consigo mism@.

Como plataforma para llevar el curso utilizaremos la aplicación de mensajería instantánea Telegram, misma por donde haremos videollamadas para las sesiones síncronas y publicaremos avisos, recursos didácticos (especificados más abajo), exámenes, etc, además de atender dudas de nuestr@s estudiantes fuera del horario de clase.

Cada semana les indicaremos cuáles son las lecturas que deben realizar y los ejercicios que deben resolver durante la misma. Además, a lo largo de la semana les enviaremos recursos didácticos que complementen sus lecturas. El primer lunes del semestre tendremos clase; de ahí en adelante, nos reuniremos por videollamada todos los miércoles (y algunos vienes, en caso de ser necesario) para dar una exposición breve de los temas de la semana -que ya deberán haber leído- y para que pregunten sus dudas acerca de ellos, y todos los lunes (con exepción del primero) para resolver dudas sobre los ejercicios dejados durante la semana anterior.

Durante todo el curso, se procurará la interacción y colaboración entre estudiantes durante el proceso de aprendizaje.

Recursos didácticos

L@s estudiantes tendrán acceso a notas del curso -que abarcan aproximadamente la mitad del mismo e incluyen ejercicios al final de cada sección diseñados para reforzar los aprendizajes- a medida que éste vaya avanzando. Además, les compartiremos oportunamente videos (como aquellos de la lista de reproducción Essence of Linear Algebra del canal de YouTube 3Blue1Brown o de Espacios vectoriales con producto escalar del canal de Animathica) y páginas interactivas (como Immersive Linear Algebra e Interactive Linear Algebra) que complementen sus lecturas, así como "quizzes" cortos diseñados para que cada quién autoevalúe sus aprendizajes de ciertos temas y pueda enfocarse en repasar aquellos temas que aún no domina. Estos cuestionarios podrán ser síncronos (en vivo, durante las videollamadas) o asíncronos.

Primera reunión

Nuestra primera reunión será el lunes 20 de septiembre en un horario por confirmar. Dado que la videollamada será por un grupo de Telegram, les pido que nos manden un mensaje por esa vía utilizando la Información de contacto que aparece al inicio de esta presentación.

Temario del curso

Módulo 1 - Nociones básicas de espacios vectoriales

Semana 1: Estructuras algebráicas, campos y espacios vectoriales.

Semana 2: Subespacios vectoriales, intersección, suma y suma directa de subespacios vectoriales.

Semana 3: Combinaciones lineales, subespacio generado y conjunto generador, dependencia e independencia lineal.

Semana 4: Bases y dimensión.

Módulo 2 - Nociones básicas de transformaciones lineales

Semana 5: Transformaciones lineales y sus representaciones matriciales.

Semana 6: Composición de transformaciones lineales y multiplicación de matrices.

Semana 7: Invertibilidad e isomorfismos, funcionales lineales y espacio dual.

Semana 8: Cambios de base.

Módulo 3 - Diagonalización

Semana 9: El problema de la diagonalización, polinomio característico, eigenvalores, eigenvectores y eigenespacios.

Semana 10: Criterios de diagonalizabilidad.

Semana 11: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y aplicaciones en física y biología.

Módulo 4 - Espacios vectoriales con producto escalar

Semana 12: Producto escalar y bases ortogonales, norma inducida y bases ortonormales, ortogonalización y ortonormalización.

Semana 13: Complemento ortogonal y proyecciones ortogonales.

Semana 14: Descomposición espectral (introducción) y operador adjunto.

Semana 15: Operadores normales, autoadjuntos y teorema espectral.

Semana 16: Operadores ortogonales y unitarios.

Nota: Debido al poco tiempo del que disponemos para el curso, se asumirá que l@s estudiantes dominan los siguientes temas del temario de Álgebra: Matrices (definción y operaciones), matrices transpuestas, operaciones elementales y matrices elementales, rango de una matriz, matrices invertibles, cálculo de la inversa de una matriz invertible, determinante de una matriz cuadrada (definición y propiedades), cálculo de determinantes, soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, espacio de soluciones de un sistema homogéneo, sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos, criterios de existencia de soluciones y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, no se asumirá conocimiento alguno del temario de Ecuaciones Diferenciales.

Criterios de evaluación

La evaluación se hará a través de 4 tareas-exámenes, uno por cada módulo del curso. Las tareas-examen se realizarán y entregarán en equipos de pocas personas, que serán asignados por el profesor y cambiarán después de cada entrega; esto fomentará la amplia colaboración entre estudiantes, y permitirá que se le pueda brindar una atención más focalizada a cada equipo. Para asegurar que el trabajo sea colaborativo, en cada entrega se deberá indicar de forma clara las contribuciones que realizó cada miembro del equipo al trabajo entregado. La calificación que obtenga un equipo en una tarea-examen será la misma que se asigne a cada contribuyente para esa misma entrega. Quienes no contribuyan a su equipo en una entrega no tendrán derecho a la calificación correspondiente.

Además de las cuatro tareas-examen, se evaluará un trabajo final obligatorio (que puede realizarse de forma individual o en parejas) en el cual realicen una investigación sobre aplicaciones de los temas vistos durante el curso y, en su caso, realicen una implementación numérica (i.e., un programa) acerca de la aplicación que investigaron. Este trabajo final se promediará con las cuatro tareas-examen para obtener la calificación final del curso.

Bibliografía recomendada para el curso:

• S. H. Friedberg, Linear Algebra, 4a ed. - es el texto básico para este tipo de cursos.
• S. Lang, Linear Algebra, 3a ed. - buen complemento al Friedberg.
• D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4a ed. - útil para quienes quieran ver algunas aplicaciones de los conceptos al mismo tiempo que los aprenden.
• R. Hammack, Book of Proof, 3a ed. - suplemento para entender y practicar demostraciones matemáticas.

Les sugiero que hojeen todos los libros recomendados antes de iniciar el curso, y que consulten los de su agrado constantemente durante el mismo, o bien, busquen otros que les sirvan mejor para aprender.

Nota: No se tolerará la deshonestidad académica: SI DETECTAMOS QUE HAY UNA COPIA EN UN EXAMEN, TODAS LAS PERSONAS INVOLUCRADAS OBTENDRÁN 0 EN EL MISMO. Si se inscriben al curso, aceptan esta condición.