Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología A

Los hiperespacios en la solución de problemas geométricos

En este curso pretendemos que el estudiante ponga en práctica los conocimientos adquiridos en el curso de topología para estudiar e investigar propiedades de los hiperespacios de continuos métricos, esto con el propósito de usar sus propiedades topológicas en la aplicación de problemas geométricos (Por ejemplo: el problema del rectángulo inscrito en curvas de Jordan). Incluiremos un breve repaso de las definiciónes de compacidad, conexidad y de espacio métrico. Posteriormente definiremos el concepto de hiperespacio de un continuo métrico; en particular nos enfocaremos en Fn(X) y Cn(X) y estudiaremos ciertas soluciones a problemas geométricos en R2 usando las propiedades topológicas de estos hiperespacios. Esto además de reforzar lo aprendido en el curso de topología, servirá para acercar a los estudiantes a la investigación (se plantearán problemas geométricos abiertos con un enfoque topológico).

Una vez cubiertas las primeras tres secciones del temario, los
alumnos eligirán, de entre los temas de la cuarta sección, los
temas que más les interesen. Se pretende que esta parte del curso
funcione como un pequeño seminario guiado, donde los estudiantes
investiguen, presenten y discutan sobre estos temas.

De los prerrequisitos para este curso, se supondrá que los
alumnos que cursen esta materia cuentan con conocimientos básicos
de topología. Dado que se dará una breve introducción al concepto
de encaje de un espacio topológico en otro espacio topológico no
es necesario que el alumno sea experto en encajes, sin embargo
sería enriquecedor que el alumno cuente con dicha herramienta.

En cuanto a la evaluación, se planea llevar a cabo una evaluación
de las primeras tres secciones por medio de una tarea, lo cual representará
el 50% de la calificación; el otro 50% de la calificación
provendrá de su participación activa en el seminario y de la exposición de un tema que el alumno elija de entre los temas optativos que se enlistan en la última sección del programa (o de un tema que el alumno proponga, adecuado al semniario).

La secuencia temática del seminario es la siguiente:

• Continuos métricos

– Espacios métricos completos

– Espacios compactos

– Espacios conexos

– Continuos métricos

• Hiperespacios

– Definiciones básicas

– El n-ésimo hiperespacio de continuos

– El n-ésimo producto simétrico

– Modelos de hiperespacios

• El problema del cuadrado inscrito en curvas de Jordan

– Curvas de Jordan y sus propiedades

– El problema del rectángulo inscrito

– Solución topológica del problema de rectángulo inscrito

• Temas optativos

– Anudamiento y entrelazamiento intrínseco de gráficas

– Propiedades de los continuos localmente conexos

– Encaje de conos topológicos de gráficas en R3

– Rectángulos inscritos en continuos planos localmente conexos

Aquellos alumnos que estén interesados en inscribir el seminario o en saber más detalles sobre el seminario, se les invita a ingresar a alguna de las siguientes reuniones en google-meet en los siguientes horarios:

Miércoles 25 Agosto 1pm
Lunes 30 Agosto 1pm
Martes 31 Agosto 4pm
Miércoles 1 Septiembre 1pm

https://meet.google.com/xeq-bxtx-zcp

Código: xeq-bxtx-zcp

Si alguien desea proponer otro horario de reunión introductoria escribame al correo: ulises.morales@ciencias.unam.mx

Bibliografía:

• Enrique Castañeda, Embedding symmetric products in Euclidean
spaces, in Continuum Theory. Ed. Alejandro Illanes, Sergio
Macías, Ira Lewis. Lecture Notes in Pure and Applied
Mathematics, Vol. 230, New York, CRC Press, 2002. 67–79.

• J. H. Conway and C. McA. Gordon, Knots and Links in Spatial
Graphs, J. Graph Theory, 7 (1983), 445-453.

• Sergio Macías, Topics on Continua, 2nd edition, Springer, 2018.

• Mark D. Meyerson, Balancing acts, Topology Proc. 6 (1981), no.
1, 59–75.

• Benjamin Matschke, Survey on the square peg problem, Notices
Amer. Math. Soc. 61 (2014), no. 4 346–352.

• Ulises Morales-Fuentes and Cristina Villanueva-Segovia,
Rectangles Inscribed in Locally Connected Plane Continua,
Topology Proc. (2021) 58. 37–43.

• Mark J. Nielsen and S. E. Wright, Rectangles inscribed in
symmetric continua, Geometriae Dedicata 56 (1995), no. 3,
285–297.