Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Teoría de Singularidades y de Contacto en la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies

Hay una manera de llegar a conceptos clásicos de Geometría Diferencial a través de ideas de la teoría de singularidades y de contacto. Esta óptica le da una sazón adicional a ideas geométricas que son, en sí mismas, muy ricas y atractivas; como la curvatura y elipse de curvatura, que ahora se relacionan con conceptos como frentes de onda, esferas de curvatura, cáusticas, mapeo normal, de Gauss y sus singularidades. Adicionalmente, considerar variedades encajadas en espacios de codimensiones mayores a uno vuelve todo más interesante. En el seminario veremos ideas de Geometría Diferencial de curvas en ℝ² y ℝ³, de superficies en ℝ³ y ℝ⁴ y algunos ejemplos de n-variedades en ℝ^{n+k}.

Las siguientes reuniones para platicar sobre el seminario y ponernos de acuerdo serán el miércoles 25, lunes 30 agosto, miércoles 1 y viernes 3 de septiembre a las 18hrs
https://cuaieed-unam.zoom.us/j/82325370454

En el Seminario, bajo la cual las personas que asistimos al mismo tenemos libertad y opción de elegir temas que nos resulten interesantes para poder exponerlos con las demás personas que asisten, al mismo tiempo el avance en el tema de estudio se nutre mediante la discusión grupal de las personas que tomamos el Seminario.

No existen prerrequisitos con carácter de obligatorio o de indispensable en cuanto a materias o conocimientos que ya tengan que saberse con anterioridad, el único requisito es tener ganas de aprender geometría.

Ideas que serán discutidas durante el seminario

1. Curvas en ℝ²

1.1 Curvatura de una curva
1.2 Círculos osculadores y cáusticas
1.3 Curvas equidistantes
1.4 Cáustica y su cálculo

1.5 Mapeo de Gauss

2. Curvas en ℝ³

2.1 Plano osculador y marco de Frenet

2.2 Círculos osculadores, esferas osculatrices y cáustica

2.3 Superficies tubulares de una curva

2.4 Cáustica y su cálculo

2.5 Mapeo de Gauss

3. Superficies en ℝ³

3.1 Segunda forma cuadrática fundamental

3.2 Curvaturas Principales

3.3 Mapeo de Gauss

3.4 Curvatura de Gauss

3.5 Esferas osculatrices
3.6 Cáustica y su cálculo

4. Superficies en ℝ⁴

4.1 Segunda forma cuadrática vectorial fundamental

4.2 Elipse indicatriz

4.3 Mapeo de Gauss
4.4 Curvaturas de Gauss y Normal

4.3 Cónica focal (de centros de curvatura)

4.4 Noción de dualidad respecto de un círculo

4.5 Dualidad entre elipse indicatriz y cónica focal

Bibliografía

[1] Arnold Vladimir, Uribe-Vargas Ricardo: Geometry

[2] Arnold Vladimir, Gusein-Zade Sabir, Varchenko Alexander: Singularities of Differentiable Maps

[3] Izumiya Shyuichi, Romero María del Carmen, Soares María Aparecida, Tari Farid: Differential Geometry from a Singularity Theory Viewpoint

[4] Porteous Ian: Geometric Differentiation. For the Intelligence of Curves and Surfaces

Les esperamos