Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Link de las clases en línea: https://meet.google.com/lookup/h6mebydokh (lunes, miércoles y viernes, 3 pm)

Importante:

Dado que el semestre 2022-I será en línea (esperemos que sólo al inicio), es importante mencionar los siguientes puntos:

• La presentación del curso será por Jitsi (https://meet.jit.si/SemGeomLeriche_2022-I), con fechas por disposición oficial el lunes 30 de Agosto, el miércoles 1 de Septiembre y el viernes 3 de Septiembre de 2021, a las 15 hrs.
• En estas reuniones de presentación se recibirán propuestas de cambio de horario.
• El inicio del curso será el lunes 20 de Septiembre, en el horario acordado y asignado ya oficialmente para esa fecha.
• Se contempla que el profesor dará clases en línea (modalidad de sesiones síncronas) durante todo el semestre los lunes, miércoles y viernes. No habrá ayudantía en línea, sin embargo el ayudante y el profesor estarán disponibles cuando sean requeridos para resolver dudas. Inicialmente se usará la misma reunión virtual de Jitsi, pero luego cambiaremos a Google Meet y Classroom con los alumnos que se inscriban.
• El material generado durante cada clase estará disponible para consulta como "notas de clase" en PDF y en "notebooks" de Jupyter.
• Como parte de la evaluación se contemplan tareas teóricas y prácticas de programación.
• Como parte de la evaluación se contempla un proyecto final, que implica teoría y programación.

Seminario de Geometría - Grupos Kleinianos: Geometría y Visualización

Descripción breve

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de D. Mumford, C. Series y D. Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de los grupos Kleinianos, mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos. Como complemento importante para la fundamentación formal de los conceptos y demostraciones, se utilizará el libro Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional del Dr. A. Lascurain (véase [3]). Finalmente, para la realización de los experimentos computacionales se utilizará el lenguaje de programación Julia (véase [Julia]), por lo que realizará un taller de programación de este lenguaje dentro del seminario.

Descripción

Un grupo Kleiniano es un subgrupo discreto de PSL(2, ℂ)¹ . Estos son grupos de simetrías en el plano complejo, en el disco unitario o en la esfera de Riemann, por lo que existe una relación directa con ciertos conjuntos fractales autosimilares y teselaciones regulares (euclidianas, esféricas e hiperbólicas). Otro aspecto relacionado con geometría sobre estos grupos es que a partir de ellos se pueden crear superficies de Riemann y 3-variedades. Además, se pueden estudiar aspectos de dinámica discreta mediante la acción del grupo sobre la esfera de Riemann. En un contexto más amplio, también se estudian los espacios moduli de superficies de Riemann mediante deformaciones de grupos Kleinianos.

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de David Mumford, Caroline Series y David Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de los grupos Kleinianos, mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos.

Dado que el libro [Indra’s Pearls] no es formal en su exposición, se complementará el curso con el contenido del excelente libro del Dr. Antonio Lascurain sobre geometría hiperbólica bidimensional (véase [3]) y se tendrán como principales libros de consulta los libros sobre grupos Kleinianos de Beardon y Maskit (véanse [1, 4]).

Las exploraciones computacionales en el libro [Indra’s Pearls] se presentan mediante algoritmos en pseudocódigo, es decir, no están escritos en ningún lenguaje de programación particular. Para el seminario se utilizará el lenguaje Julia (véase [Julia]), que está diseñado especialmente para cómputo científico y combina simplicidad con eficiencia. Dentro del seminario se realizará un taller para la introducción completa al lenguaje de programación Julia, por lo que no se solicitarán conocimientos de programación al alumno. El objetivo no será que el alumno se convierta en experto programación, sino sólo que aprenda lo suficiente para realizar las exploraciones computacionales para comprender la teoría de grupos Kleinianos.

Temario

Durante el semestre, se verán en paralelo los temas de Teoría (Geometría y Grupos Kleinianos) y los de Programación (en Julia) para realizar las exploraciones computacionales.

1. Transformaciones y Simetría Euclidianas / Programación básica [Sep-Oct]
* Programación
a ) Introducción a la programación. Introducción a Julia y Jupyter.
b ) Números, variables, constantes, operadores y expresiones. Tipos básicos.
c ) Gráficos vectoriales con Luxor.
d ) Funciones y sus argumentos.
e ) Archivos y módulos.
f ) Instrucciones de control condicional. Operador condicional.
g ) Funciones recursivas.
h ) Tipos colección: rangos y arreglos.
i ) Instrucciones de control de repetición. Comprehensiones.
* Teoría
a ) El programa de Erlangen de Klein.
b ) Transformaciones rígidas en el plano euclidiano. Simetría.
c ) Grupos de transformaciones euclidianas. Frisos y mosaicos.
d ) Conjugación, órbitas y regiones fundamentales.

2. Transformaciones en la Esfera de Riemann / Programación Intermedia [Oct-Nov]
* Programación
a ) Funciones con argumentos opcionales y con argumentos palabra clave. Funciones anónimas.
b ) Tipos compuestos. Mutables e inmutables.
c ) Funciones con tipos. Métodos y despacho múltiple.
d ) Objetos función.
* Teoría
a ) El plano complejo. La geometría de los números complejos.
b ) La proyección estereográfica. La esfera de Riemann.
c ) Transformaciones de Möbius: loxodrómicas, hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Red de Steiner.
d ) Inversiones y reflexiones.

3. Grupos de Schottky / Programación avanzada [Nov-Dic]
* Programación
a ) Constructores. Sobrecarga de operadores.
b ) Tipos abstractos y subtipos.
c ) Implementación de algoritmos de recorrido de árboles.
* Teoría
a ) Grupos de Schottky clásicos. Grupos libres. Gráfica de Cayley.
b ) Grupos discretos. Conjuntos límite y regular. Superficie cociente.
c ) Conjunto de Cantor. Espacio de sucesiones de símbolos.

4. Grupos Fuchsianos y Quasi-Fuchsianos / Programación avanzada [Dic-Ene]
* Programación
a ) Implementación del algoritmo del juego del caos.
b ) Implementación de algoritmos de recorrido de gráficas.
* Teoría
a ) Grupos de Schottky "que se besan". Grupos Quasi-Fuchsianos.
b ) El conmutador del grupo. Caracterización por medio de la traza del conmutador.
c ) Grupos Fuchsianos. Supercies pinchadas.
d ) Carpetas de Apolonio. El grupo modular.

5. Opcional: Grupos Especiales / Programación intermedia y avanzada [si hay tiempo]
* Programación
a ) Tipos colección: diccionarios, tuplas y conjuntos.
b ) Vectores y matrices. Álgebra lineal.
c ) Manejo de Excepciones.
d ) Funciones y tipos parametrizados por tipos.
e ) Macros.
f ) Imágenes con Images. Interacción con Interact.
* Teoría
a ) Grupos parametrizados con conmutador parabólico.
b ) Grupos de Riley y de Maskit.
c ) Grupos Kleinianos con conjuntos límite que llenan la esfera.
d ) Grupos cúspides. Grupos degenerados. Rebanada de Maskit.

Evaluación

• Tareas 60%. Se asignarán 4 tareas con problemas teóricos y ejercicios de programación, una por cada “unidad” del temario.
• Trabajo final 40%. Desarrollo de un tema teórico y un programa relacionado, a entregar a mediados de Enero 2022. Temas propuestos: Tasas de encogimiento en grupos de Schottky, dimensión fractal, grupos de Maskit, teselaciones alla Escher, polígono de Ford, grupo de Jorgensen, rebanada de Maskit, formas automórficas, extensiones de Poincaré, etc.

Requisitos

Los cursos antecedentes al seminario:

• Necesarios: Geometría Analítica I y II, Álgebra Moderna I, Variable Compleja I.
• Deseables: Introducción a la Geometría Avanzada, Computación I, Programación I.

Bibliografía principal

Bibliografía complementaria

[10] Lauwens, B. & Downey, A.B., Think Julia - How to think like a computer scientist, O'Reilly, 2019.