Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Lógica Matemática II

Logica 2

Introducción

El objetivo de este curso es demostrar los teoremas de Compacidad, Lowenheim-Skolem y Correctud-Completud y ver algunas de sus consecuencias.

En este curso demostraremos estos resultados desde un punto de vista algebraico. Empezaremos demostrando Compacidad y Correctud-Completud en lógica proposicional con álgebras de Boole. Luego haremos una revisión de las nociones clásicas de lógica 2 como la noción de verdad de Tarski y las generalizaremos a álgebras de Boole para obtener "estructuras variables". Estas estructuras serán la clave para demostrar los teoremas de arriba. Las aplicaciones serán principalmente a la lógica, la teoría de conjuntos y álgebra.

Método

En esta clase usaremos Clasrrom (https://classroom.google.com/c/MzcyODAwNjk3NDk5?cjc=4zdlflx) y Meet (con el enlace generado por classroom) para las tareas y clases. Además usaremos Zulip, un chat con LaTeX integrado, para dudas y cosas adicionales.

Temario

1. Álgebras de Boole
2. Filtros y Ultrafiltros
3. Un poco de dualidad de Stone (álgebra=geometría)
4. Nociones básicas de lógica de primer orden
5. Una idea de cómo demostrar Correctud-Completud
6. Estructuras booleano-valuadas
7. Ultraproductos
8. Teoremas de Compacidad y Lowenhein-Skolem
9. Aplicaciones
10. (Opcional) Lógica de un sistema (físico) clásico

Bibliografía

• Bell y Slomson, Models and Ultraproducts
• Bell, Set Theory: Boolean-Valued Models and Independence Proofs
• Mendelson, Introduction to Mathematical Logic
• Enderton, A Mathematical Introduction to Logic
• Herbert Enderton, Una introducción matemática a la lógica http://www.filosoficas.unam.mx/catalogo/?autores=enderton-herbert-b (la versión en español del anterior)

Bibliografía extra

• Boole, An Investigationof the Laws of Thought
• Lawvere, Diagonal arguments and Cartesian Closed Categories
• Lawvere, Adjointness in Foundations
• Lawvere, Taking Cateories Seriously
• Lawvere, Some Thoughts on the Future of Category Theory
• Lawvere, Alexander Grothendieck and the Concept of Space
• Lawvere, Axiomatic Cohesion
• Lawvere, Cohesive Toposes and Cantor's Lauter Einsen