Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial II

Aviso: Del 30 de agosto al 17 de septiembre haremos un repaso de lo que vimos en el primer curso. En la primera semana repasaremos las definiciones de superficie regular en R³, los principales elementos geométricos que las determinan; a saber, las formas fundamentales y la curvatura. Si nos da tiempo, en esa misma primera semana recordaremos el concepto de derivada covariante, los símbolos de Christoffel, el transporte paralelo y las geodésicas. Finalmente, veremos los detalles de la demostración del teorema de Gauss-Bonnet. No está de más recordar que esta parte no será evaluada.

Comenzaremos el segundo curso el 20 de septiembre, estudiando con más detalle las geodésicas para definir la transformación exponencial y revisar algunas de sus propiedades básicas. Una vez armados con esta transformación, podemos introducir el concepto de completez geodésica y con ello uno de los resultados más importantes del curso, el teorema de Hopf-Rinow.

Continuaremos con el estudio de las variaciones de la energía, para caracterizar a las geodésicas como aquellas curvas que minimizan la distancia (y la energía) entre cualesquiera dos de sus puntos. En el transcurso de esta discusión iremos notando como la curvatura va jugando cada vez más un papel muy importante. Así podremos ver distintos teoremas relativos a superficies con curvatura positiva, o bien a superficies con curvatura negativa.

Para cerrar el curso, abordaremos de nuevo el problema de inmersión isométrica, probando el célebre teorema de Hilbert que habla de la imposibilidad de tener una inmersión isométrica del plano hiperbólico en R³.

Forma de trabajo

Utilizaremos las herramientas de Google. El código del grupo en Classroom es ttat7go; o bien, el código de invitación es

https://classroom.google.com/c/Mzc5MDUyMTYyNzEy?cjc=ttat7go

Es importante que se registren en Classroom con su correo institucional (@ciencias.unam.mx) y que verifiquen que aparezca su nombre completo como identificador.

Sesiones

Las sesiones de clase se realizarán mediante Google Meet y serán grabadas para que las puedan ver posteriormente. En Classroom se publicará el enlace permanente a las sesiones.

Listas de ejercicios

Para cada tema se publicará una lista de ejercicios representativos, de modo que puedan practicar de manera constante a lo largo del semestre. La entrega de estos ejercicios NO será requerida, pero como se verá en la siguiente sección, se recomienda fuertemente que traten de resolverlos.

Quizzes

Con la intención de que los estudiantes se mantengan atentos al ritmo del curso, el viernes de cada semana (salvo las semanas en que haya examen) se publicará un quiz, que constará de 3 ejercicios breves para que los estudiantes repasen los temas vistos en la semana.

Calificaciones

Algunos ejercicios del examen saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas. Haremos 4 exámenes parciales (con 4 preguntas cada uno) en las siguientes fechas, salvo causas de fuerza mayor:

Jueves 21 de octubre: Transformación exponencial; teorema de Hopf-Rinow.

Jueves 18 de noviembre: Variaciones de la longitud de arco; campos de Jacobi.

Jueves 16 de diciembre: Teorema de la esfera; teoremas de Hadamard.

Jueves 27 de enero: Teorema de Hilbert.

El día que nos toque la segunda vuelta se presentará a lo más una reposición o el examen final. Los ejercicios de las reposiciones y el examen final NO saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas.

La dinámica para todos los quizzes y exámenes parciales, reposiciones y final será la siguiente:

· En Google Classroom se publicará el quiz o examen, según corresponda. Los días que haya examen no habrá quiz.

· El quiz se publicará a las 19:00 y los estudiantes entregarán sus respuestas a más tardar a las 22:00 del mismo día.

· El examen se publicará a las 12:00 y los estudiantes entregarán sus respuestas a más tardar a las 24:00 del mismo día.

· En ambos casos, los estudiantes deberán subir a Classroom un archivo de respuestas en formato PDF, nombrándolo como en los siguientes ejemplos:

apellidos_nombres_Q1 (quiz 1)

apellidos_nombres_E2 (parcial 2)

apellidos_nombres_R3 (reposición del parcial 3)

apellidos_nombres_F (final)
Ejemplo: palmas_velasco_oscar_Q1.pdf

· Los estudiantes deberán asegurarse de que el quiz/examen sea legible. Los quizzes/exámenes ilegibles o entregados posteriormente a la hora límite no serán tomados en cuenta, sin excepciones. Se sugiere que suban sus exámenes media hora antes de la hora límite, para evitar complicaciones.

Los quizzes representarán el 20% de la calificación, mientras que los exámenes parciales representarán el 80% de la calificación. La calificación final será el máximo entre

(1) las calificaciones de los quizzes y parciales, en la proporción ya mencionada;

(2) las calificaciones de los quizzes y los parciales contando la reposición, en la proporción ya mencionada;

(3) la calificación del examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0.

Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Para cualquier duda y asesoría, estaremos disponibles vía Classroom o por correo electrónico.

¡Nos veremos!

Oscar Palmas

oscar.palmas@ciencias.unam.mx

Andrés Ahumada Gómez

andres.19@ciencias.unam.mx