Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Geometría Diferencial I 4259

Profesor: Eugenio Garnica Vigil

Ayudante: Ángel de Jesús Sánchez López

Lunes a viernes 12:00 - 13:00

Presentación

En este curso de Geometría Diferencial I veremos lo más importante del Programa Oficial para el Curso que aparece en la página de la Facultad.

Los objetos de estudio de la Geometría Diferencial son las n-Variedades diferenciales y las funciones diferenciales entre ellas.

El espacio Euclideano n-dimensional es una n-Variedad que es modelo base para definir las otras n-Variedades en general. Estudiaremos

solo 1-Variedades, que llamaremos “curvas”, y 2-Variedades que llamaremos “superficies”. Estos dos ejemplos serán suficientes para desarrollar muchos

conceptos básicos de la Geometría Diferencial que se usan en general. Para poder desplegar sus propiedades usaremos como medio ambiente el espacio Euclideano de dimensión 3.

Comenzaremos con el análisis de Curvas parametrizadas, y el estudio particular de la parametrización con respecto a la longitud de arco. Un caso especial es el de una Curva regular. Veremos los conceptos de curvatura, torsión y las Ecs. de Frenet-Serret. Después veremos el Teorema Fundamental de la Teoría local de Curvas.

Las curvas son importantes en todo el curso por sus propiedades, pero también para el análisis de las Superficies y de Variedades de mayor dimensión.

Veremos la definición de una Superficie regular y ejemplos básicos: la gráfica de una función diferenciable, la imagen inversa de un valor “regular” etc. Luego veremos lo que significa el plano tangente en cada punto de la Superficie y su utilidad.

En particular, con los planos tangentes veremos los Campos vectoriales, sus flujos y sus operaciones. Analizaremos la relación de una Superficie con el medio ambiente llamada Geometría Extrínseca. Ésto en comparación con su Geometría intrínseca. En relación con el medio ambiente una Superficie regular hereda un producto punto en cada plano tangente. Lo que permite definir la derivada de un campo vectorial con respecto a otro, la derivada un campo vectorial con respecto a una Curva. Tendremos en seguida las geodésicas. Con relación al medio ambiente estudiaremos la aplicación de Gauss de una Superficie

regular, curvatura, curvatura normal, curvatura geodésica. Terminaremos con el Teorema Fundamental de la Teoría local de Superficies y el Teorema de Gauss-Bonnet. Cabe mencionar que la forma de trabajar variedades dentro de un espacio Euclideano se puede hacer en dimensiones arbitrarias, como se muestra en el libro de Boothby dado en la bibliografía. (Un escenario todavía más general es posible; el estudio de variedades encajadas en una variedad determinada).

La bibliografía básica también aparece en el programa oficial, aunque en realidad yo me basaré en dos libros muy buenos

1. Do Carmo “Differential Geometry of Curves and Surfaces in R^{3}”

Prentice Hall

2. William Boothby “Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry” AcademicPress

Sobre la forma de calificar: habrá tres tareas-examen correspondientes a cada tercera parte del temario. La evaluación de las tareas-examen serán el 100% de la calificación.

Mientras dure la Contingencia, haremos el Curso en línea, en la plataforma Google Classroom. Para esto les envío los correspondientes códigos:

Teoría: Lunes, Miércoles y Viernes de 12:00 a 13:00 hrs.

Ayudantía: Martes y Jueves de 12:00 a 13:00 hrs.

Código de la clase: ugtxuwv

Enlace de Meet: https://meet.google.com/lookup/ab4jwn7vqs

Subiremos las clases videograbadas y tareas al Google Classroom.

Es importante que se registren en Classroom con su correo institucional (@ciencias.unam.mx) y que verifiquen que aparezca su nombre completo como identificador.

Para cualquier pregunta, duda ó comentario, tenemos los siguientes correos

Eugenio Garnica Vigil: garnica@unam.mx

Ángel de Jesús Sánchez López: angelsl@ciencias.unam.mx

Haremos una primera reunión en Google Meet el dia 30 de agosto a la hora de clase,

para responder algunas dudas del Curso. La primera clase a distancia será el 20 de Septiembre. ¡Hasta pronto!