Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales II

Introducción al análisis funcional y a las ecuaciones diferenciales parciales.

El curso está orientado a estudiantes interesados en análisis funcional, análisis armónico, física-matemática y ecuaciones diferenciales parciales.

Requisitos:

Necesarios: Cálculo diferencial e integral I-IV, álgebra lineal I y ecuaciones diferenciales ordinarias I.

Recomendables pero no indispensables: Análisis Matemático I, Ecuaciones Diferenciales Parciales I o Cálculo de Variaciones.

Temario:

I. Herramientas básicas de Análisis.

• Teorema de diferenciación de Lebesgue y algunos resultados en espacios L^{p}.
• Funciones de prueba (convolución y regularizadores, particiones de la unidad y funciones de corte).
• Teorema B.L.T.
• Espacios de Hilbert.
• Espacios de funciones Hölder continuas.

II. Teoría de distribuciones.

• Definición y ejemplos.
• Cálculo con distribuciones (multiplicación por una función suave, derivada y cambios de variable).
• Convergencia con distribuciones.
• Distribuciones con soporte compacto.
• Convolución con distribuciones.
• Producto tensorial con distribuciones. (*)
• Transformada de Fourier (Espacio de Schwartz, distribuciones temperadas, transformada de Fourier sobre el espacio de Schwartz y transformada de Fourier sobre el espacio de distribuciones temperadas).
• Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales (soluciones fundamentales y teorema de Malgrange-Ehrenpreis).

III. Principios variacionales básicos.

• Elementos de cálculo variacional (derivadas de Fréchet y Gateaux, ecuación de Euler-Lagrange, principio de Dirichlet y Lagrangianos nulos).

IV. Espacios de Sobolev.

• Derivadas débiles y definición de espacios de Sobolev.
• Teorema de cambio de variables en espacios de Sobolev.
• Teoremas de aproximación en espacios de Sobolev (aproximación local, aproximación global, aproximación global hasta la frontera, etc).
• Teorema de traza y sus consecuencias.
• Caracterización de espacios H^{k}(R^{n}) con transformada de Fourier.
• Teoremas de encajes.
• Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov.

V. Ecuaciones Elípticas de segundo orden.

• Formulación débil de problemas de valores en la frontera.
• Desigualdades de Poincaré.
• Existencia (Teoremas de Stampacchia y Teorema de Lax-Milgram).
• Ejemplos (problemas de Dirichlet, Neumann, etc).
• Aplicaciones a elastostática lineal.
• Regularidad de soluciones.
• Método de Galerkin (teorema de punto fijo de Brouwer y teorema de Minty-Browder en espacios de Hilbert).(*)

Notas: Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

El miércoles 8 de septiembre haremos una reunión preliminar por google meet a la hora de clase. Se usarán los correos que aparecen en la lista de inscritos.

Forma de trabajo y evaluación:

https://www.youtube.com/watch?v=spLYnVvPze4&t=5s

Motivación:

https://youtu.be/4-hMN1EIr2c

https://youtu.be/r8pZV5YVBH0

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
• Chipot. Elliptic Equations: An Introductory Course.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Fuctional Analysis with Applications.
• Dautray, Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology.
• Duistermaat, Kolk. Distributions.
• Eskin. Lectures on Linear Partial Differential Equations.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Folland. Real Analysis.
• Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I.
• Gel'fand, Shilov. Generalized Functions Vols I-II.
• Kesavan. Functional Analysis.
• Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
• Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications.
• Lax. Functional Analysis.
• Mitrea. Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis.
• Reed,Simon. Methods of Modern Mathematical Physics Vol I.
• Salsa. Partial Differential Equations in Action.
• Sobolev. Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics.
• Schwartz. Mathematics for the physical sciences.
• Wong. Partial Differential Equations: Topics in Fourier Analysis.