Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

La estructura topológica de las órbitas en una vecindad de un punto crítico está determinada por los valores propios de la matriz correspondiente a la linealización alrededor del mismo. Imaginemos que el sistema de ecuaciones asociado incorpora un parámetro de modo que los valores propios –y por ende la naturaleza de las soluciones- de la matriz de primera variación dependen de este. ¿Qué condiciones se tienen que satisfacer para que esta dependencia sea continua? ¿Se presenta un cambio cualitativo en la naturaleza topológica de las soluciones? ¿De qué forma se transforman? Es la clase de preguntas que tendremos en mente a lo largo del semestre; la clase de cuestionamientos con los que abordamos la idea de bifurcación: el cambio en la estructura cualitativa o topológica de una familia de soluciones al variar un parámetro. Como veremos, las hay de varios tipos, entre las que podemos mencionar la bifurcación homoclínica, la de Hopf y la de Bogdanov-Takens. Esto me hace recordar otra de las preguntas centrales del curso: ¿Bajo qué condiciones aparecen órbitas cerradas, correspondientes a soluciones periódicas?

Después de armarnos con las herramientas adecuadas –el mapeo de Poincaré, por ejemplo- procederemos a estudiar ejemplos famosos que incorporan parámetros y que al hacerlos variar provocan algún cambio en el comportamiento cualitativo de las soluciones. Entre estos ejemplos, de gran relevancia hoy en día y para los cuales no está todo escrito, se encuentra el sistema propuesto por el matemático y meteorólogo Edward Lorenz en los años 60 y que despertó el interés en la teoría del caos.

Temario

1. Introducción a sistemas dinámicos
   1. El operador evolución
   2. Órbitas y retratos fase
   3. Conjuntos invariantes
   4. Mapeo de Poincaré
2. Equivalencia topológica, bifurcaciones y estabilidad estructural
   1. Equivalencia de sistemas dinámicos
   2. Clasificación topológica de puntos de equilibrio
   3. Diagramas de bifurcación
   4. Formas topológicas normales para bifurcaciones
   5. Estabilidad estructural
3. Bifurcaciones uniparamétricas en sistemas dinámicos continuos
   1. Bifurcación de pliegue
   2. Bifurcación de Hopf
4. Bifurcaciones uniparamétricas en sistemas dinámicos discretos
   1. El modelo logístico discreto
   2. Caos
5. Ejemplos
   1. Sistemas de presa-depredador
   2. Especies en competencia
   3. Ecuación de van der Pol
   4. El sistema de Lorenz

Clases y ayudantías

• Se subirán a un canal de YouTube 3 videos a la semana con el contenido del curso.
• Tendremos una video conferencia a la semana vía GoogleMeet en el horario asignado de 14 a 15 hrs. así como ayudantías dos veces por semana a la misma hora.
• Recuerden accesar con su correo @ciencias.unam.mx

La invitación al classroom del grupo se enviará al correo que tengan registrado, de preferencia que sea de @ciencias.unam.mx

En dado caso que no les llegue la invitación o no puedan unirse al classroom, manden un correo al ayudante Ivan, con el asunto "invitación a classroom grupo 4252"

Referencias

• Kuznetsov, Y. A., Elements of Applied Bifurcation Theory
• Guckenheimer, J. & Holmes P.J., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields