Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Grupo 4249, 65 lugares. 6 alumnos.
Profesor Jessica Angélica Jaurez Rosas lu mi vi 7 a 8
Ayudante Guadalupe Martínez Salgado ma ju 7 a 8

 
Enseguida se presenta el apartado "Contenido del curso y bibliografía" donde se hace una breve descripción del curso y se señala el material bibliográfico para consulta. Posteriormente se encuentra el apartado "Dinámica del curso", donde se describe cómo se organizará la clase, el modo de evaluación y las plataformas que se utilizarán. Finalmente, se coloca la información para la primera sesión.

Contenido del curso y bibliografía

En este curso nos enfocaremos en estudiar ecuaciones diferenciales no lineales. Entre las motivaciones principales de nuestro estudio está comprender los retratos de las fases alrededor de dos tipos de soluciones: puntos singulares y órbitas periódicas. Estos estudios nos permitirán, de manera natural, plantear problemas sobre perturbaciones de ecuaciones diferenciales, donde dado un campo vectorial, éste se modifica al cambiar ligeramente los coeficientes que lo definen.
Las perturbaciones surgen al considerar fenómenos físicos, biológicos o biomédicos que dependen de parámetros, y donde resulta trascendental comprender si pequeñas variaciones alteran o no el comportamiento de los fenómenos. En términos de las ecuaciones diferenciales, el caso en que no hay alteraciones en el comportamiento se conoce como propiedad de estabilidad, y el caso en que sí hay modificaciones sustanciales se conoce como fenómeno de bifurcación.
Entre los principales resultados de este curso, daremos condiciones para asegurar que nuestras ecuaciones diferenciales son estables, y también daremos ideas y técnicas que se usan frecuentemente en el análisis de bifurcaciones. En general, abordaremos técnicas y resultados clásicos en el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales, que se emplean y se siguen desarrollando en investigaciones actuales.

Clasificación topológica de ecuaciones diferenciales

El resultado principal que abordaremos en esta parte es el teorema de linealización de Grobman-Hartman, que nos permitirá comprender el retrato de las fases de una ecuación diferencial alrededor de un punto singular. Para hacerlo, comenzaremos retomando la geometría de las ecuaciones diferenciales lineales, considerando los diversos tipos de retratos de las fases que podríamos tener en el caso de dos variables. Esto nos permitirá introducir nociones que permiten "clasificar" los diversos tipos de comportamientos, entre ellos, la equivalencia topológica de ecuaciones diferenciales. A partir de ello, pasaremos a ecuaciones no lineales y abordaremos el problema de clasificación topológica mediante el teorema de Grobman-Hartman.

El teorema de Grobman-Hartman en la perturbación de ecuaciones hamiltonianas

En este apartado tomaremos como motivación el teorema de Grobman-Hartman para abordar perturbaciones de ecuaciones hamiltonianas e integrables. Comenzaremos retomando las nociones geométricas de este tipo de ecuaciones diferenciales. En particular, esto nos permitirá introducir y trabajar con la noción de punto singular de "tipo centro" y "tipo silla" de manera formal, usando el conocido lema de Morse. Dada la importancia de este resultado en varias áreas, daremos su demostración usando una importante herramienta de ecuaciones diferenciales: el método homotópico.

Puntos no singulares. El teorema de rectificación

En el estudio de puntos no singulares de una ecuación, el teorema de rectificación es el resultado que nos describe totalmente la geometría local entorno a puntos que no son singulares. Daremos su demostración, y la luz de este resultado y del teorema de Grobman-Hartman, abordaremos ejemplos para distinguir, de manera formal, la diferencia sustancial entre los puntos singulares y los puntos no singulares de una ecuación diferencial.

Órbitas periódicas. El teorema de Andronov-Vitt

Al igual que los puntos singulares de un campo, las órbitas periódicas son soluciones de especial interés dentro del estudio de ecuaciones diferenciales. Una de las razones es que el comportamiento alrededor de las órbitas periódicas puede ser muy variado, y comprenderlo nos puede llevar a comprender buena parte del retrato de las fases de la ecuación diferencial. En este apartado estudiaremos una propiedad conocida como estabilidad de Liapunov. El teorema de Andronov-Vitt, uno de los principales resultados que abordaremos en esta parte, nos da condiciones para saber si la órbita periódica tiene esta propiedad de estabilidad, tanto para la ecuación como para sus perturbaciones. Para poder abordar este resultado y sus consecuencias, vamos a introducir herramientas importantes tales como la transformación de Poincaré; estudiaremos fundamentos de ecuaciones diferenciales con coeficientes periódicos, como la transformación de monodromía y el teorema de Floquet-Liapunov. Además, abordaremos la relación entre transformación de monodromía y transformación de Poincaré.

Teorema de Poincaré-Bendixon

En este apartado estudiaremos el teorema de Poincaré-Bendixon, un resultado clásico que nos ayuda a comprender a qué conjunto de puntos se acumulan las soluciones a una ecuación diferencial. En este apartado veremos que bajo ciertas condiciones, esos puntos de acumulación están formados por puntos singulares y órbitas periódicas de la ecuación diferencial.

Introducción a la teoría de bifurcaciones

En este apartado cada ecuación diferencial se analizará como parte de una familia; ya no como un objeto aislado, sino como parte de un conjunto de ecuaciones que tienen ciertas características comunes. Veremos ejemplos donde se muestra como al mover ciertos parámetros de una ecuación, se puede modificar el retrato de las fases de forma tal que un punto singular puede dar lugar a más puntos singulares, o bien, cómo una órbita periódica puede generar más órbitas periódicas. Mediante esos ejemplos mostraremos algunas de las técnicas y razonamientos que se usan frecuentemente en el área de teoría de bifurcaciones, que es extensa y se encuentra en constante desarrollo. En caso de que el tiempo lo permita, abordaremos el teorema de Poincaré-Pontriaguin, sobre perturbaciones de campos vectoriales hamiltonianos y generación de ciclos límite.

Material bibliográfico

En el curso se darán notas que estarán basadas principalmente en el libro “Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales”, que está en construcción y que se escribe en colaboración con Laura Ortiz Bobadilla, Jesús A. Palma Márquez y Ernesto Rosales González.
Otros libros que pueden servir de apoyo son:
V.I. Arnold, “ Ordinary Differential Equations”, Springer-Verlag.
P. Hartman, "Ordinary Differential Equations", Society for Industrial and Applied Mathematics.

Dinámica del curso

El contenido y los ejercicios del curso se encontrarán en su totalidad en las "Notas del curso". De forma adicional, se realizarán "Actividades y material de apoyo" con el fin de abonar el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
La evaluación se hará por medio de tareas (100%). Se permitirá reponer hasta dos tareas o bien hacer un examen final, siempre y cuando se hayan enviado al menos la mitad de las tareas que se dejen a lo largo del semestre.
Como apoyo técnico se usarán las plataformas Google Meet y Classroom
Cabe mencionar que a los estudiantes inscritos se les pedirá que envíen escaneada su identificación de la UNAM, y que usen su correo de ciencias para su interacción dentro del grupo.
Enseguida se dan aspectos puntuales sobre “Notas del curso”, “Actividades y material de apoyo”, “Tareas” y “Consideraciones adicionales”.

Notas del curso

Además del contenido teórico, las notas del curso tendrán ejemplos y ejercicios. Los ejemplos estarán pensados para apoyar al estudiante en la resolución de los ejercicios, los cuales deberán ser resueltos conforme se avance en la lectura de las notas.
Las notas se enviarán los días lunes, miércoles y viernes en el horario de la clase.

Actividades y material de apoyo

Los días martes y jueves en el horario de clase, la profesora se conectará por Google Meet para resolver dudas sobre las notas. Cabe mencionar que el principal propósito de estas sesiones será resolver las dudas que los alumnos tengan después de haber estudiado las notas de clase. De ser necesario, también se podrán resolver dudas específicas sobre los ejercicios de la tarea, una vez que el estudiante ya los haya intentado por su cuenta y tenga propuestas de resolución.
En caso de tener el consentimiento de todos los presentes, se grabarán las sesiones por Google Meet y se subirán al grupo en Classroom. Cabe mencionar que a los estudiantes inscritos se les pedirá que, en caso de estar de acuerdo, den su consentimiento por escrito para poder realizar las grabaciones.
Las dudas o comentarios sobre las notas o sobre las sesiones de videoconferencia podrán ser enviados al correo electrónico de la ayudante, con copia a la profesora.
Adicionalmente, se subirán videos y más ejercicios resueltos cuando se considere que el tema lo amerite.

Tareas

Las tareas consistirán en una selección de ejercicios de las Notas de clase. El envío, la recepción y la evaluación de las tareas se harán por medio de Classroom.
Reiteramos que es importante que los estudiantes resuelvan los ejercicios de las notas conforme vayan apareciendo, de tal manera que sus dudas sean resueltas en las sesiones inmediatas por videoconferencia, o bien, por correo electrónico.
Se pedirá que las tareas tengan una redacción clara, pues contarán con tiempo suficiente para escribirlas. También se requerirá que todas vayan escritas a mano, con letra grande y legible, que sean escaneadas y enviadas en archivos .pdf legibles (no en foto). Cabe mencionar que es responsabilidad de cada estudiante verificar que los escritos que serán evaluados estén ordenados y que se suban correctamente a la plataforma Classroom.

Consideraciones adicionales

Es importante mencionar que si en alguna tarea se llegaran a encontrar trabajos idénticos, o indicios de que han sido copiados, éstos se anularán, o bien, se optará por hacer exámenes orales a las personas que hayan presentado dichos trabajos.

Primera sesión

La presentación del curso será el lunes 30 de agosto del 2021 en el horario de la clase. Se recomienda que los alumnos interesados asistan a la reunión, pues ésta no se grabará debido a que, entre otras cosas, abordaremos el tema del consentimiento para grabar las sesiones en general.
Código de la clase en Classroom: wvvyi7l
Enlace para Google Meet desde @ciencias: cgwq4jgts5
Cabe mencionar que este código de clase y este enlace sólo se usarán hasta tener la lista definitiva de los estudiantes inscritos. Posteriormente se cambiará y sólo se dará acceso a los estudiantes inscritos.

 


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