Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático IV

ANÁLISIS MATEMÁTICO IV.

Daremos el curso en el Classroom que hemos armado, las sesiones serán en el Meet del Classroom se graban si todos están de acuerdo.

Aquí está el enlace

https://classroom.google.com/c/MTYxMjE1NTE5Mzgz?cjc=scdd2ei

Estamos puliendo muchas cosas, pero ya están las notas de los detalles de las demostraciones del Brezis.

I. TOPOLOGÍAS DÉBILES. ESPACIOS REFLEXIVOS. ESPACIOS SEPARABLES. CONVEXIDAD UNIFORME.

II. ESPACIOS L^P.

III. ESPACIOS DE HILBERT.

IV. OPERADORES COMPACTOS.

Evaluación.

Examen-tarea por cada sección. El promedio es la suma de todas las evaluaciones entre 4.

Esto es en términos generales no está absolutamente definido pues hay cosas que podemos acordar todos juntos. Les proponemos una reunión el 30 de agosto para acordar detalles del curso.

¡Anímensen (sic)!

TEMARIO.

I. TOPOLOGÍAS DÉBILES. ESPACIOS REFLEXIVOS. ESPACIOS SEPARABLES. CONVEXIDAD UNIFORME.

1. La topología más gruesa que hace continuos a una colección de mapeos.

2. Definiciones y propiedades elementales de la topología débil

3. Topología débil. Conjuntos convexos, y operadores lineales.

4. Topología débil^*.

5. Espacios reflexivos.

6. Espacios separables.

7. Espacios uniformemente convexos.

II. ESPACIOS L^P.

1. Definiciones y propiedades elementales de los espacios L^p.

2. Reflexividad. Separabilidad, dual de L^p.

3. Convolución y regularización.

4. Criterio de compacidad fuerte en L^p.

III. ESPACIOS DE HILBERT.

1. Definiciones y propiedades elementales. Proyecciones sobre conjuntos cerrados convexos

2. Espacio dual de un espacio de Hilbert.

3. Los teoremas de Stampacchia y Lax-Milgram.

4. Sumas de Hilbert. Bases ortonormales.

IV. OPERADORES COMPACTOS. DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL. OPERADORES COMPACTOS AUTOADJUNTOS.

1. Definiciones. Propiedades elementales. Operador adjunto.

2. Teoría de Riesz - Fredholm.

3. Espectro de un operador compacto.

4. Descomposición espectral de operadores autoadjuntos compactos.

BIBLIOGRAFÍA.

Brezis, H., Funtional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. New York, Springer, 2011.

Dieudonné, J., Fundamentos de Análisis Moderno. México: Editorial Reverté, 1976.

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Aplications. Canada. Wiley, 1978

Royden, H. L., Real Analysis. New York: Macmillan, 1988.

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3ra ed.). México: McGraw–Hill, 1980.

Varios. Notas de Análisis. CARM. 2020. (No es una obra totalmente original).