Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

La clases serán en línea, vía zoom. Durante la clase veremos videos previamente grabados por el profesor y los complementaremos con comentarios, ejemplos, resolveremos dudas, etc. Estos videos tienen el objetivo de que si por algún motivo no pueden entrar puedan revisar el material en otro momento. Los videos del curso se subirán en el siguiente canal de youtube:

https://youtube.com/user/zonaceroprm

Para organizar la clase usaremos Classroom, grupo de whats app y posiblemente telegram. Quien este interesado en el curso envíeme un mensaje a pavelrm@yahoo.com.mx para proporcionarle los enlaces de classroom y whats app. En classroom dejaremos las tareas, examenes, etc. y daremos avisos generales del curso. En dado caso que tu único metodo de comunicación sea el correo electronico, avísame en el correo que me envies. TODO el curso estará disponible en el canal de youtube, conforme avance el semestre.

Evaluación: De 4 a 5 tareas-examen por equipos o individual. Sí hay reposiciones y sí hay examen final. El trabajo con el ayudante cuenta al final como punto extra y es opcional. Si haces todas las tareas del ayudante tienes en tu calificación final un punto extra o la parte proporcional según el número de tareas extra que entregues.

Sobre el curso:

En este curso se dará una introducción a diversos temas del Análisis Funcional: estudiaremos el concepto de espacio de Banach, espacio de Hilbert, y los teoremas relevantes con respecto a su teoría de operadores y su teoría espectral; probaremos resultados que son importantes por sus aplicaciones en diversas áreas de la matemática.

Sin duda uno de los conceptos importantes del curso es el de operador acotado, que al ser transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión infinita tiene mucha relevancia dentro de la matemática. Junto con el concepto de operador acotado está el concepto del espectro de un operador, cuyos valores se pueden pensar como una generalización de los valores propios en el caso de dimensión finita. Así, en el curso veremos algunos teoremas que tienen que ver con la teoría matemática de estos conceptos.

El curso es introductorio, pues cabe mencionar que todos estos temas tienen un nivel de profundidad muy grande y un sin fin de cosas interesantes no se cubrirán. Sin embargo, el curso está pensado para que los estudiantes puedan adentrarse en las diversas áreas donde se aplica el análisis funcional: el calculo de variaciones, ecuaciones diferenciales parciales, teoría de control, álgebras topologicas, geometría en espacios de Banach, por mencionar algunas.

Temario

1. Espacios de Banach

1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas

1.2 Operadores lineales, la norma de operador, funcionales lineales

1.3 Teoremas importantes en espacios de Banach

1.3.1 Teorema de Hahn-Banach.

1.3.2 Teorema de acotamiento uniforme.

1.3.3 Teorema de la gráfica cerrada.

1.3.4 Teorema del mapeo abierto.

1.4 Topologias débiles en espacios de Banach, el teorema de Banach-Alaoglu.

2. Espacios de Hilbert

2.1 Espacios con producto punto y propiedades básicas

2.2 Ortogonalidad y bases

2.3 Teorema de representación de Riesz

2.4 Teorema del isomorfismo

3. Teoría espectral

3.1 El espectro de un operador y algunos resultados relacionados

3.2 El teorema espectral

3.3 Propiedades del espectro de algunos tipos de operadores

4. Algunos operadores especiales

4.1 Operadores compactos

4.2 Operadores autoadjuntos

4.3 Diferentes tipos de operadores acotados

4.4. Propiedades espectrales de operadores compactos, autoadjuntos, etc.

5. Algebras de Banach

5.1 Algebras de Banach: su definición y propiedades

5.2 El conjunto de elementos invertibles

5.3 El espectro de un elemento

5.4 El teorema de Gelfand-Mazur

Bibliografía

N. L. Carothers, A short course on banach space theory

Dunford, Schwartz, Linear operators part I: general theory

G. Folland, Real analysis

H. Jarchow, Locally convex spaces

E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications

R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory

W. Rudin, Functional analysis.