Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Variable Compleja I Grupo 4222, 65 lugares.

De lunes a viernes de 19:00 a 20:00

INICIO: Lunes 20 de septiembre a las 19:00

Enlace de Meet solo para la primera clase del semestre se enviará un dia antes (el 19 de septiembre) a la lista de correos que tengo registrada.

Preguntas y comentarios previos se pueden enviar al correo ernesto@matem.unam.mx

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Nombre de la clase en el portal classroom de google: VC1 2022-1-Lic

Enlace de Meet para la primera clase del semestre la enviaré un dia antes (el 19 de septiembre) a los correos registrados en la lista de inscritos o en el aula de google del curso.

NOTA IPORTANTE: Para las nuevas sesiones se invitará a los alumnos a través de los correos (de preferencia de fciencias) que están registrados en la lista de inscritos que proporciona la facultad.

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MODO DE CALIFICAR: Se ajustará a las circunstancias que permite la contingencia sanitaria.

Preliminarmente se harán examenes por bloque del temario, tareas y algún trabajo sobre algún tema.

Todos los trabajos y exámenes son individuales y se califica también limpieza, orden y completez.

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TEMARIO en el portal de la facultad de CIencias

0. Propiedades algebraicas, topológicas, métricas y geométricas del plano euclideano, aplicaciones continuas y diferenciables en el plano (repaso)

1. Multiplicación en el plano euclidiano y el campo de números complejos. Funciones elementales

de variable compleja. Polinomios y el Teorema Fundamental del Algebra (TFA) demostración 1

2. Transformaciones lineales conformes en el plano y aplicaciones conformes en abiertos del plano.

3. Condiciones de Cauchy-Riemann de aplicaciones diferenciables

4. Aplicaciones complejo diferenciables y las condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas.

5. Primitivas holomorfas de aplicaciones continuas en abiertos del plano complejo,

• Integral compleja de una aplicación continua y
• "Teorema Fundamental de la Variable Compleja" (TFVC)

6. Cálculo de integrales de funciones de variable compleja

7. Teorema de Cauchy-Goursat (para discos y regiones estrella).

8. Consecuencias del Teorema de Cauchy-Goursat:

• Formula integral de Cauchy de una función holomorfa y de sus derivadas.
• Diferenciabilidad infinita de una función holomorfa.
• Teorema de las cotas de Cauchy,
• Teorema de Liouville y TFA demostración 2
• Serie de Taylor de una función holomorfa
• Teorema del módulo máximo y TFA demostración 3.
• Homotopía y Teorema de deformación
• Teorema de Cauchy para regiones simplemente conexas

9. Funciones holomorfas en anillos

10. Singularidad aislada (removible, polo y esencial) de funciones holomorfas

11. Serie de Laurent de una función holomorfa en un anillo.

12. Residuos de una singularidad aislada.

13. Aplicaciones al cálculo de integrales

Bibliografia

J.Marsden; J.Hoffman, "Basic Complex Analysis"

J.Conway "Functions of one comlex variable"

A. Lascurain O. Curso básico de variable compleja, Editorial: Prensas de Ciencias