Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

PRESENTACIÓN

Nuestros cursos de variable compleja se caracterizan por destacar los aspectos geométricos de la teoría de las funciones complejas, sin descuidar, por supuesto, los aspectos analíticos y sus demostraciones rigurosas: buscamos siempre mostrar la interpretación geométrica de los resultados, así como la relación de ellos con varias áreas de la Geometría, como son la Euclideana, la Hiperbólica o la Proyectiva.

También buscamos introducir brevemente algunos aspectos históricos de esta teoría y de sus relaciones con algunas áreas de la Física. Y en todo momento señalaremos el contraste entre las propiedades de las funciones complejas y las de las funciones reales.

Nuestro enfoque se basa en el clásico libro de Ahlfors “Análisis Complejo”, aunque actualizándolo en varios aspectos. También usamos el libro de Remmert “Theory of Complex Functions” como referencia.

Iniciaremos el curso solicitando a todo el grupo que nos ayude a recordar las propiedades principales de los números complejos y sus operaciones elementales. Continuaremos viendo las transformaciones más simples del plano complejo y sus propiedades geométricas. Después de incluir el punto al infinito, haremos lo mismo con las transformaciones de Möebius, para continuar con las potencias y las raíces, así como con los polinomios y las funciones racionales. Para concluir, construiremos de una manera geométrica la función exponencial y las funciones que se derivan de ella, como el logaritmo, las trigonométricas y sus inversas.

La siguiente parte del curso se dedicará de manera detallada a estudiar la derivación de las funciones complejas. Si bien sus propiedades y fórmulas elementales son las mismas que las de la derivación real, se destaca la gran diferencia en cuanto a su significado y sus primeras consecuencias e interpretaciones.

La última parte se dedica a definir la integración de funciones complejas y se demostrarán sus propiedades elementales con todo detalle. Los principales resultados profundos sobre ellas (incluyendo el Teorema y la Fórmula de Cauchy) se estudian en comparación con los resultados sobre las integrales de línea reales. Se concluirá esta parte viendo el Teorema del Residuo y su aplicación al cálculo de integrales reales

Para la evaluación habrá tareas a lo largo del semestre (que contarán para el 50% de la calificación). El día de la entrega de la tarea se hará un breve examen sobre los problemas de la misma (que contará para el 50% restante).

Todo lo anterior estará matizado por el número de asistentes al curso y por las necesidades y sugerencias del grupo.

Las clases serán los lunes, miércoles y viernes y las ayudantías los martes y jueves, todos de 11:00 a 12:00. Todas serán a distancia usando el sistema Zoom y con anticipación daremos las ligas para conectarse. Hemos escrito notas sobre los cursos de Variable 1 y 2 que se podrán ir consultando en el Classroom del curso.

La primera clase será el 20 de septiembre, pero podemos reunirnos antes para comentar esta presentación y conocer sus puntos de vista, el lunes 30 de agosto de 2021 a las 11:00Hrs.

Dudas o comentarios:
carisa@ciencias.unam.mx