Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Forma de trabajo:

Se impartirán clases en línea, de lunes a viernes de 7 a 8 de la mañana, a través de Google Meet.

Usaremos Google Classroom para compartir recursos, tareas e información del curso.

Código de Classroom: 63kuwmw

El enlace para la reunión en Meet es el que se muestra en Classroom.

Nos basaremos en el libro del profesor Antonio Lascurain (disponible en Plaza Prometeo)

Auxiliarmente, usaremos los libros de Marsden, Hoffman y Ahlfors.

Forma de evaluación:

Se realizarán cuatro tareas-exámenes (una por cada bloque), con un valor de 70%,

También se realizarán exposiciones de algunos de los ejercicios, con un valor de 30%.

(Cada alumno realizará una exposición de aproximadamente 10 minutos por cada parcial,

aunque esto podría variar dependiendo de la cantidad de alumnos inscritos).

Temario:

1 Preliminares y analiticidad

1.1 Álgebra y geometría compleja.

1.2 Proyección estereográfica. Métrica cordal.

1.3 Funciones elementales: racionales, exponencial, trigonométricas.

1.4 Funciones multivaluadas: Ramas de logaritmo, potencias, raíces.

1.5 Geometría de estas funciones.

1.6 Analiticidad, ecuaciones de Cauchy-Riemann

1.7 Conformalidad, teorema de la función inversa.

1.8 Diferenciación de las funciones elementales, dominios analíticos.

2 Integración

2.1 Integral compleja, el teorema fundamental del cálculo, cotas superiores de integrales.

2.2 Lema de Goursat, teorema de primitivas locales.

2.3 Teorema de Cauchy.

2.4 Teorema de la deformación y de Cauchy con homotopía.

2.3 Teorema de Morera.

2.4 Integrales de tipo Cauchy, índice, fórmulas integrales de Cauchy.

2.5 Teoremas de Liouville y fundamental del álgebra.

2.6 Lema de Schwartz y teorema del módulo máximo par funciones analíticas y armónicas.

2.7 Funciones armónicas conjugadas, problema de Dirichlet y fórmula de Poisson.

3 Series

3.1 Criterio M de Weierstrass, teorema de Weierstrass o de la convergencia analítica.

3.2 Lema de Abel, teorema de Taylor, criterios para el radio de convergencia, producto de series de potencias.

3.3 Teorema de Laurent.

3.4 Singularidades, clasificación de singularidades, teorema de CasoratiWeisrstrass.

3.5 Ejemplos elementales de continuación analítica.

3.6 Cálculo de residuos.

4 Teorema del residuo y aplicaciones

4.1 Teorema del residuo.

4.2 Cálculo de integrales impropias de funciones racionales, cálculo de integrales trigonométricas.

4.3 Cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier de funciones O grande de 1/z, cuando z tiende a infinito.

Bibliografía:

Lascurain Orive, A. Curso básico de variable compleja, 3a edición, 2a reeimpresión, Las prensas de Ciencias, UNAM 2020

Marsden, J.E. y Hoffman, M. J. Basic Complex Analysis, México, Trillas, 1996

Ahlfors, L.V. Complex Analysis,. México: McGraw-Hill, 1979

Para cualquier duda, contactarme al correo: helena_lc95@ciencias.unam.mx