Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

La dinámica del curso será mediante clases presenciales y/o videos pregrabados. Las clases se darán por medio de la plataforma de Meet y estás serán grabadas para que las puedan consultar, posteriormente se subirán las notas elaboradas en la clase en el Classroom del curso. Los vídeos pregrabados también se subirán en la plataforma de Classroom, se alternarán las clases con vídeos pregrabados de acuerdo a la complejidad de los temas (temas más cortos serán grabados).

El día 30 de agosto habrá una reunión informativa en el horario de clase para aquellos interesados en el curso, explicaremos cualquier duda que tengan sobre el curso. Favor de mandar un correo a la dirección para proporcionarles el enlace de dicha reunión:

hbelmontm@ciencias.unam.mx

Cualquier otra duda y/o sugerencia pueden contactar a esta misma dirección.

Temario:

0. Algunos conceptos sobre conjuntos

• Cardinalidad
• Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
• Ejemplos.

1. Espacios métricos

• Definición de espacios métricos y espacios normados, y ejemplos.
• Espacios de funciones.
• Conjuntos abiertos y cerrados.
• Convergencia de sucesiones.
• Continuidad.

2. Completitud y convergencia uniforme

• Espacios métricos completos.
• Espacios completos de funciones.
• Series en espacios de Banach.
• Integrales y convergencia uniforme.
• Teorema de punto fijo y aplicaciones.

3. Compacidad

• Espacios metricos compactos y conjuntos totalmente acotados.
• Criterios de compacidad en espacios métricos.
• Teorema de Heine-Borel.
• Teorema de Arzelà-Ascoli.

4. Teoremas de aproximación

• Teorema de aproximación de Weierstrass.
• Teorema de Stone-Weierstrass (versión real y versión compleja).

5. Integral de Riemann-Stieltjes. (*)

5'. Categoría de espacios métricos. (*).

(*) Nota: Si el tiempo lo permite y se encuentran interesados en ver los temas podemos ver uno de los temas 5 y 5'.

Bibliografía:

La guía principal del curso será el libro:

• Clapp. Análisis Matemático.

Pueden encontrar la versión gratuita en el siguiente enlace: http://papirhos.matem.unam.mx/tul/P_T_02/index.html

Adicionalmente, complementaremos los temas vistos con los siguientes libros:

• Kaplansky. Set theory and metric spaces.
• Kolmogorov, Fomin. Elementos de la teoría de funciones y de análisis funcional.
• Rudin. Principles of mathematical analysis.
• Carothers. Real Analysis.
• Bartle. Introduction to real analysis.
• Apostol. Mathematical Analysis.

Evaluación:

El capítulo 0 no formará parte de la evaluación, sin embargo, es importante ver (o repasar si ya lo vieron) cardinalidad pues está ligada a algunas propiedades de los espacios métricos. Evaluaremos con 3 tareas examen (individuales o en parejas de acuerdo a la cantidad de alumnos), ejercicios adicionales para subir calificación y un examen final en tiempo real, cuya finalidad es evaluar el conocimiento general de los temas vistos en el curso.

• Tarea 1: Se evaluará el capítulo 1.
• Tarea 2: Se evaluará el capítulo 2.
• Tarea 3: Se evaluarán los capítulos 3 y 4.

La calificación final antes de redondear se asignará de la siguiente manera:

• Si la calificación del examen final es mayor o igual a 5: Calificación final= Promedio de los examenes+puntos adicionales.
• Si la calificación del examen final es menor a 5: Calificación final= (Promedio de los examenes+puntos adicionales)*(0.8).

Posteriormente:

• Si la calificación es mayor o igual 5.5: Se redondea la calificación final al entero superior si la parte decimal es mayor o igual a 0.5 y se redondea al entero inferior si ésta es menor a 0.5.
• Si la calificación es menor a 5.5: Se considera NP.

Tienen derecho a reponer una de las tareas examen por medio de un examen en tiempo real y habrá examen final para quien lo requiera.