Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

Grupo 4198, 65 lugares. 39 alumnos.
Profesor Jorge Antonio Cruz Chapital lu mi vi 7 a 8
Ayudante Luis Ricardo López Villafán ma ju 7 a 8
Ayudante César Ismael Corral Rojas

 

Personas interesadas en el curso, favor de escribir al correo jorgeacruzchapital@ciencias.unam.mx para agregarlas al grupo de google classroom.

Bienvenidos a su curso de Analisis I. A continuación presentamos el Temario.

Temario del curso

  • Espacios Métricos y Espacios Normados.(8 horas)

Definición de métrica y norma.
Ejemplos canónicos de espacios métricos y espacios normados.
Operaciónes sobre espacios métricos (subespacios, suma de espacios, producto numerable de espacios, cocientes).
Isometrias.

  • Topologia de Espacios Métricos.(7 horas)

Definicion de topolog\'ia.
Conjuntos cerrados, conjuntos densos, frontera, interior, cerradura.
Base para una topología.
conexidad y convexidad.

  • Convergencia y Completez. (15 horas)

Sucesiones convergentes.
Sucesiones de Cauchy
Espacios métricos completos.(Esto incluye espacios polacos, espacios de Banach y espacios de Hilbert)
Preservación de Completez respecto a operaciones en espacios métricos.
Completación de un espacio métrico.
El Teorema de categoria de Baire y sus aplicaciones.
Contracciones y Funciones Lipschitz-continuas.
El teorema del punto fijo de Banach y sus aplicaciones.

  • Continuidad (20 horas)

Definición de continuidad. Equivalencias topológicas y en términos de sucesiones.
Continuidad de isometrias y funciones Lipschitz continuas.
Continuidad uniforme.
Extensiones de funciones continuas( Lema de pegado, Teorema de extensión de Tietze-Urysohn, Teorema de Kuratowski Y Teorema de Lavrentiev).
convergencia de funciones puntual y convergencia uniforme de funciones continuas.
Compatibilidad de la convergencia de funciones con la derivada y la integral.
Series de funciones.

  • Compacidad(20 horas)

Definici\'on de compacidad.
Preservacion de la compacidad respecto a operaciones en espacios métricos.
Compacidad secuencial, Compacidad numerable y Espacios Lindelöf.
Equivalencias de compacidad y el Teorema de Heine-Borel.
Teorema del n\'umero de Lebesgue.
Funciones continuas con dominios compactos.
Teorema de Arzela-Ascoli.

  • Teorema de Aproximación de Weierstrass(10 horas).

El temario que se calificará termina en este momento. Algunos de los siguientes temas se subir\'an a modo de divulgación en formato de video o pdf a lo largo del curso. Dichos temas NO serán califcados, y tienen el único proposito de brindarles un panorama mas general.\\

  • Temas extra

  1. Los Borelianos y el ideal de magros en espacios completos.
  2. Propiedades universales del cubo de Hilbert, el conjunto de Cantor y los irracionales.
  3. La integral de Riemman-Stieljes.
  4. El Teorema de selección de Michael.
  5. Derivada de Gateaux, derivada de Fr\'echet y la formula de Taylor.
  6. El espacio universal de Urysohn.
  7. Axioma de la coloracion abierta para espacios polacos.

Dinámica de la clase.

Las clases serán de lunes a viernes a través de la plataforma Zoom en el horario oficial. Cada clase será grabada y subida a un grupo de Google Classroom destinado al Curso, junto con las notas correspondientes a dicha clase en formato pdf. Dichas notas contendrán todo lo visto en clase, y ocasionalmente material complementario. También se subirán videos pregrabados que podrían sustituir la clase en Zoom, presentar parte del material extra, o complementar el material obligatorio con ejemplos, contraejemplos u otros enfoques a un tema particular. Los videos que sustituyan a las clases en Zoom están pensados únicamente para cuando consideremos que didácticamente es más útil presentar un tema a través de un video editado en el cual podamos incluir más elementos que solo la pizarra virtual, aunque también se podrán publicar estos videos ocasionalmente en época de exámenes para liberar un poco la presión que puedan tener los alumnos en sus otras materias.

Adicional a las clases, se destinarán dos horas extras a la semana para la resolución de problemas y dudas generales. El horario de dichas asesorías será acordado a principio del semestre por los alumnos y NO es obligatorio asistir. Sin embargo, creemos que puede serles de mucha ayuda, por lo que recomendamos que vayan cuando el tiempo se los permita.

Evaluación.

La evaluación del curso se dividrá en dos partes.

La primera parte del curso abarcará hasta el tema de sucesiones de cauchy. La calificacióne se calculará en base a ejercicios que dejaremos a lo largo de la semana. La idea es que dichos ejercicios no sean complicados, pero que los obliguen a pensar en las definiciones y los teoremas al menos 15 minutos al dia hasta dominar los fundamentos del curso.

La segunda parte abarcará desde espacios completos hasta el Teorema de aproximación. Se puede considerar a esta parte, la parte avanzada del curso. A partir de este momento calificaremos con examenes; uno de Completez, uno de continuidad y uno de compacidad con el teorema de aproximación. La calificaci'on base de la segunda parte del curso se calculará en base al promedio de los examenes.

A lo largo del curso habrá maneras de conseguir puntuación extra como resolver problemas de mucha dificultad que se lleguen a proponer, o realizar breves trabajos de investigación sobre aspectos culturales e historicos del análisis.

Esta forma de evaluación es tentativa, y se discutirá con los alumnos a principio del curso.

 


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