Matemáticas (plan 1983) 2022-1

FACULTAD DE CIENCIAS UNAM

Geometría Analítica I

Semestre 2022-1 Grupo: 4078 Horario Lunes a Viernes 19 a 20 hrs

Profesora: Maya Lol Sosa Salas

Ayudante: Jaime Hernández López

mayalol@ciencias.unam.mx jaimehl@ciencias.unam.mx

@MayaSosa @JaimeHernandezL

Objetivo general:

Familiarizar al alumno con los conceptos geométricos fundamentales como: simetría, espacio vectorial, dimensión y transformaciones, contextualizándoles en el tratamiento coordenado de los objetos geométricos más sencillos correspondientes a las ecuaciones y desigualdades de primer y segundo grado en dos variables.

Objetivos específicos:

Conocer los conceptos geométricos elementales, coordenadas cartesianas y lugares geométricos.

Comprender el concepto de trigonometría y su interpretación geométrica.

Recordar el concepto de vector y su interpretación geométrica, y conocer las principales operaciones que se pueden realizar entre vectores.

Entender la manera de expresar algebraicamente la recta, el plano, semiplanos y semiespacios, así como las ideas geométricas asociadas.

Comprender la idea de cónica, e interpretar algebraicamente los lugares geométricos conocidos como parábola, elipse e hipérbola.

TEMARIO

1. Introducción

1.1 Los conceptos geométricos elementales: distancia entre dos puntos, distancia de un punto a una recta, distancia de un punto a un plano; simetría respecto a un punto, respecto a una recta y respecto a un plano.

1.2 Introducción de coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio y el método analítico.

1.3 Lugares geométricos del plano y el espacio definidos por ecuaciones y desigualdades elementales. Gráficas de funciones de primer y segundo grado en una y dos variables.

2. Trigonometría

2.1 Razones trigonométricas; primeras relaciones. El Teorema de Pitágoras.

2.2 Resolución de triángulos. Congruencia. Semejanza.

2.3 Rectas y puntos notables de un triángulo.

2.4 Ángulo central y ángulo inscrito. Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

2.5 Funciones trigonométricas. Identidades trigonométricas.

2.6 Coordenadas polares. Curvas en coordenadas polares.

2.7 Curvas paramétricas.

2.8 Coordenadas esféricas y cilíndricas. Superficies coordenadas. Superficies paramétricas.

3. Espacios vectoriales básicos

3.1 Definición y ejemplos de un espacio vectorial real (R², R³, las funciones reales de variable real; fuerzas planas y espaciales).

3.2 Subespacios vectoriales; ejemplos.

3.3 Independencia lineal, conjunto generador, base, dimensión. Dimensión de una curva y de una superficie.

3.4 Producto escalar, producto vectorial, triple producto escalar. Interpretación geométrica de cada uno y propiedades.

4. Rectas, planos, semiplanos y semiespacios

4.1 Ecuaciones cartesianas y paramétricas de la recta en R². Fórmula para la distancia de un punto a una recta. División de un segmento en una razón dada. Semiplanos.

4.2 Rectas en R³; rectas que se cruzan, distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas.

4.3 Ecuaciones cartesianas y paramétricas de un plano en R³. Distancia de un punto a un plano. Semiespacios.

4.4 Sistemas de ecuaciones lineales. Transversalidad.

4.5 Sistemas de desigualdades lineales.

5. Cónicas

5.1 Definición, trazado y nomenclatura. Simetrías y extensión.

5.2 Ecuaciones con cónicas; sistema coordenado “natural”.

5.3 Cónicas con ejes paralelos a los coordenados. Traslaciones.

5.4 Rotaciones en R². Clasificación de formas cuadráticas (discriminante).

5.5 Definición general de cónica (excentricidad). Secciones de un cono.

5.6 La tangente a una cónica; propiedad focal.

5.7 Cónicas parametrizadas.

5.8 Familias de cónicas