Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Grupo 4349, 65 lugares. 5 alumnos.
Profesor Renato Leriche Vázquez lu mi vi 8 a 9
Ayudante José Daniel Blancas Camarena ma ju 8 a 9

 

Seminario de Geometría B

Grupos Kleinianos: Geometría y Visualización

Vínculo al Google Meet del curso:

http://meet.google.com/bzk-zdmu-pze

Importante: Una disculpa para los que se conectaron el miércoles 3 que no estuve presente,

Para el viernes 5 me conectaré para la presentación del curso para quienes no pudieron conectarse antes.

La presentación del curso se realizará los días Martes 2, Miércoles 3 y Viernes 5 de Marzo a las 8 am. El inicio de clases será el Lunes 8 de Marzo.

Las clases se realizarán:

  • En línea vía Google Meet.
  • Por el profesor Lunes, Miércoles y Viernes en el horario asignado.

Debido a que gran parte (o quizá todo) el semestre se realizará con clases en línea, los elementos para evaluación se modificarán de acuerdo al modo presencial o en línea [ver sección Evaluación más abajo].

Descripción breve

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de D. Mumford, C. Series y D. Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de los grupos Kleinianos, mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos. Como complemento importante para la fundamentación formal de los conceptos y demostraciones, se utilizará el libro Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional del Dr. A. Lascurain (véase [3]). Finalmente, para la realización de los experimentos computacionales se utilizará el lenguaje de programación Julia (véase [Julia]), por lo que realizará un taller de programación de este lenguaje dentro del seminario.

Descripción

Un grupo Kleiniano es un subgrupo discreto de PSL(2, ℂ)1 . Estos son grupos de simetrías en el plano complejo, en el disco unitario o en la esfera de Riemann, por lo que existe una relación directa con ciertos conjuntos fractales autosimilares y teselaciones regulares (euclidianas, esféricas e hiperbólicas). Otro aspecto relacionado con geometría sobre estos grupos es que a partir de ellos se pueden crear superficies de Riemann y 3-variedades. Además, se pueden estudiar aspectos de dinámica discreta mediante la acción del grupo sobre la esfera de Riemann. En un contexto más amplio, también se estudian los espacios moduli de superficies de Riemann mediante deformaciones de grupos Kleinianos.

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de David Mumford, Caroline Series y David Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de los grupos Kleinianos, mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos.

Dado que el libro [Indra’s Pearls] no es formal en su exposición, se complementará el curso con el contenido del excelente libro del Dr. Antonio Lascurain sobre geometría hiperbólica bidimensional (véase [3]) y se tendrán como principales libros de consulta los libros sobre grupos Kleinianos de Beardon y Maskit (véanse [1, 4]).

Las exploraciones computacionales en el libro [Indra’s Pearls] se presentan mediante algoritmos en pseudocódigo, es decir, no están escritos en ningún lenguaje de programación particular. Para el seminario se utilizará el lenguaje Julia (véase [Julia]), que está diseñado especialmente para cómputo científico y combina simplicidad con eficiencia. Dentro del seminario se realizará un taller para la introducción completa al lenguaje de programación Julia, por lo que no se solicitarán conocimientos de programación al alumno. El objetivo no será que el alumno se convierta en experto programación, sino sólo que aprenda lo suficiente para realizar las exploraciones computacionales para comprender la teoría de grupos Kleinianos.

Temario

Durante el semestre, se verán en paralelo el temario principal de Geometría de grupos Kleinianos, junto con el temario complementario de Programación para realizar las exploraciones computacionales.

Geometría de Grupos Kleinianos
1. Transformaciones y Simetría
a) Simetrías. Transformaciones rígidas en el plano euclidiano.
b) Grupos de transformaciones euclidianas. Frisos y teselaciones.
c) El plano complejo. La geometría de los números complejos.
d) La esfera de Riemann. La proyección estereográfica.
e) Inversiones. Transformaciones de Möbius: parabólicas, hiperbólicas, loxodrómicas y elípticas.
2. Grupos de Schottky
a) Grupos de Schottky clásicos.
b) Grupos libres. Gráfica de Cayley.
c) Conjunto límite. Conjunto regular. Superficie cociente.
d) Conjunto de Cantor. Espacio de sucesiones de símbolos.
3. Grupos Fuchsianos y Quasi-Fuchsianos
a) Grupos de Schottky “que se besan”. Grupos Quasi-Fuchsianos.
b) Conjugación de grupos. El conmutador del grupo. Caracterización por medio de la traza del conmutador.
c) Grupos Fuchsianos. Superficies pinchadas.
d) Carpetas de Apolonio. El grupo modular.
4. Teoría de Teichmüller
a) Grupos parametrizados con conmutador parabólico.
b) Grupos de Riley y de Maskit.
c) Grupos Kleinianos con conjuntos límite que llenan la esfera.
d) Grupos cúspides. Grupos degenerados. Rebanada de Maskit.
Programación
  • Introducción a la programación.
  • Introducción a Julia y Jupyter.
  • Números, operadores, expresiones, variables y constantes.
  • Funciones y sus parámetros.
  • Archivos y módulos.
  • Tipos básicos y colecciones. Métodos y despacho múltiple.
  • Vectores y matrices. Álgebra lineal.
  • Gráficos vectoriales con Luxor.
  • Instrucciones de control condicional. El operador condicional.
  • Instrucciones de control de repetición. Comprehensiones.
  • Funciones anónimas. Funciones parametrización por tipos.
  • Tipos compuestos. Mutables e inmutables.
  • Constructores. Sobrecarga de operadores. Objetos función.
  • Tipos abstractos y herencia. Tipos compuestos parametrizados por tipos.
  • Imágenes con Images.
  • Temas opcionales: Mapas y Filtros, Manejo de Excepciones, Macros, Graficación con Plots, Interacción con Interact, Graficación con Makie.

Evaluación

Modo en línea

  • Tareas 60%. Se asignarán 4 tareas con problemas teóricos y ejercicios de programación, una por cada “unidad” del temario de Geometría de Grupos Kleinianos.
  • Trabajo final 40%. Desarrollo de un tema teórico y un programa relacionado, a entregar a finales de Junio..

Modo presencial

  • Tareas 50%. Se asignarán 4 tareas sobre la teoría, una por cada “unidad” del temario de Geometría de Grupos Kleinianos.
  • Prácticas 25%. Se realizarán prácticas de programación y de “experimentación” computacional.
  • Exposiciones 25%. Cada alumno realizará 2 o 3 exposiciones durante el semestre (el número de exposiciones depende del número de alumnos inscritos).

Requisitos

Los cursos antecedentes al seminario:

  • Necesarios: Geometría Analítica I y II, Álgebra Moderna I, Variable Compleja I.
  • Deseables: Introducción a la Geometría Avanzada, Computación I, Programación I.

Bibliografía principal

[Indra’s Pearls] Mumford, D., Series, C. & Wright, D., Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, Cambridge University Press, 2001.

[Julia] The Julia Language, julialang.org.

Bibliografía complementaria

[1] Beardon, A.F., The Geometry of Discrete Groups, Graduate Texts in Mathematics 91, Springer-Verlag, 1995.

[2] Kalajdzievski, S., Math and Art - An introduction to Visual Mathematics. CRC Press. 2008.

[3] Lascurain-Orive, A., Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional, Facultad de Ciencias, 2015 (2da edición).

[4] Maskit, B., Kleinian Groups, Springer-Verlag, 1987.

[5] McMullen, C.T., Riemann surfaces, dynamics and geometry, people.math.harvard.edu/~ctm/.../rs/course.pdf, 2018.

[6] Needham, T., Visual Complex Analysis, 1999.

[7] Ramírez-Galarza, A.I. & Seade-Kuri, J., Introducción a la Geometría Avanzada, Facultad de Ciencias, 2002.

[8] Ramírez-Galarza, A.I. & Sienra-Loera, G.F.J., Invitación a las Geometrías No Euclidianas, Facultad de Ciencias, 2003.

[9] Yaglom, I., Felix Klein and Sophus Lie, evolution of the idea of symmetry in the 19th century, Birkhäuser, 1988.

 


Hecho en México, todos los derechos reservados 2011-2016. Esta página puede ser reproducida con fines no lucrativos, siempre y cuando no se mutile, se cite la fuente completa y su dirección electrónica. De otra forma requiere permiso previo por escrito de la Institución.
Sitio web administrado por la Coordinación de los Servicios de Cómputo de la Facultad de Ciencias. ¿Dudas?, ¿comentarios?. Escribenos. Aviso de privacidad.