Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Teoría de los Números II

Teoría analítica de números: El teorema de Dirichlet.

Los números primos son aún un objeto de estudio de gran interés, lo son desde la época dorada de la antigua Grecia y Euclides demostró por primera vez que existe una infinidad de ellos.

Podemos clasificar a los primos de acuerdo al residuo que dejan cuando son divididos por un entero n. En este contexto consideremos a los primos de la forma p=h+nk, y con base en esto, definimos una progresión aritmética como una sucesión de la forma {h+nk}_n.

En cursos introductorios de Teoría de Números se estudian algunos casos particulares de progresiones que contienen entre sus términos una infinidad de primos, por ejemplo, usando teoría elemental se prueba que hay una infinidad de primos en la progresión aritmética {4k+1}, y mediante el uso de residuos cuadráticos se prueba que hay una infinidad de primos en la progresión aritmética {4k+3}, en esta dirección surge el cuestionamiento ¿Bajo que condiciones hay infinidad de primos de manera general en la progresión aritmética {h+kn}?.

El teorema de Dirichlet establece que si (h,k)=1, entonces hay una infinidad de primos en la progresión aritmética {h+nk},aunque el enunciado es muy fácil de entender su prueba requiere de técnicas que se escapan de las manos de un primer curso de teoría de números. La idea del curso es desarrollar todas las herramientas analíticas y algebraicas necesarias para poder probarlo.

Temario:

1.- Herramienta necesaria para la demostracion del teorema de Dirichlet

*)Funciones aritméticas.

*)Notaciones de comportamiento asintomático .

*)Formula de la suma de Euler.

*)El método de la hipérbola de Dirichlet.

*)Orden promedio de funciones aritméticas.

*)Los teoremas de Mertens.

2.-Demostración del teorema de Dirichlet

*)Un poco de teoría de grupos.

*)Caracteres de grupos abelianos finitos.

*)Caracteres de Dirichlet.

*)Productos de Euler (en general y para la función zeta de Riemann).

*) L-series de Dirichlet.

*)Prueba de los 6 lemas necesarios para demostrar el teorema de Dirichlet.

Dinámica del curso:

El curso será mediante clases sincrónicas y vídeos pre grabados, se evaluará mediante tareas que iremos dejando a lo largo del semestre, puden ingresar a classroom mediante la siguiente liga : https://classroom.google.com/c/Mjc3MTEyOTQ5MjA3?cjc=nol2v4h , o con la clave: nol2v4h (deben entrar con una cuenta de correo con dominio @ciencias), en classroom publicaré el link para la primera reunión donde aclararemos todas sus dudas.