Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2021-2

Computación Científica, Seminario de Análisis Numérico

Requisitos: Algebra lineal II, Ecuaciones diferenciales ordinarias I, Ecuaciones diferenciales parciales I y Análisis numérico I.

Objetivos: Introducir al estudiante, desde el punto de vista de la Computación Científica, a la simulación numérica de modelos matemáticos (EDP’s) en temas de vital interés en Medicina, por la detección temprana de estenosis en coronarias (o Prevención temprana de infartos al miocardio), entre otros. Principalmente nos basaremos en el libro [All].

Calificación: Promedio general de tareas y exposiciones, más promedio general de reportes de prácticas de laboratorio, más calificación de trabajo de curso (proyecto de investigación), entre tres.

PROGRAMA

1.Exposición de proyectos del Seminario 1a semana

2. Introducción a la Modelación matemática y a la simulación numérica 2a semana

2.1 Modelos clásicos de EDP:

-Ecuación de calor

-Ecuación de onda

-El Laplaciano

-Ecuación de Schrodinger

-Sistema de elasticidad lineal

-Sistema de Stokes

2.2 Cálculo numérico por diferencias finitas

-Principio del método de diferencias finitas

-Resultados numéricos para la ecuación de calor

2.3 Nociones básicas de modelos matemáticos

-Problemas bien planteado

-Problemas mal planteados

3 Formulación Variacional de problemas elípticos 3a semana

-Repaso de fórmulas de Green

-Formulación variacional de problemas elípticos

-Teorema de Lax-Milgram

-Applicacion al la ecuación de Laplace.

4 Espacios de Sobolev 4a a 5a semana

4.1- Funciones cuadrado integrables y noción de derivada débil.

4.2 Definiciones Principales y propiedades.

-Espacios H^1

-Espacios H1_0

-Fórmulas de Green y teorema de traza

-Espacios H^m

5- Estudio de problemas elípticos 6a a 7a semana

-Estudio de la ecuacion de Laplace en espacios de Sobolev

-Estudios del modelo de Stokes

6- Método de elemento finito 8a a 9a semana

6.1 Aproximación Variacional

6.2 Elemento finito en dimensión N=1

6.3 introducción a Elemento finito en dimensión N >= 2

6.4 Programación del método de elemento finito en Freefem++

7- Introduction a la optimización 10a semana

-Motivación y ejemplos

-Existencia de un mínimo en dimensión infinita

8- Condiciones de Optimalidad y algoritmos 11a-12a semana

-Generalidades

-Desigualdades de Euler y restricciones convexas

-Multiplicadores de Lagrange

-Punto silla y teorema de Kuhn Tucker, dualidad

- Aplicaciones control Óptimo.

9- Algoritmos de optimización en dimensión infinita 13a semana

-Algoritmos de tipo gradiente sin restricciones

-Algoritmos de tipo gradiente con restricciones

10.Desarrollo de proyectos de interés. 13a - 15a semana.

BIBLIOGRAFÍA