Ciencias de la Tierra (plan 2011) 2021-2

Cuarto Semestre, Matemáticas para las Ciencias de la Tierra IV

MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS DE LA TIERRA IV

Profesor: Dr. Faustino Sánchez Garduño

Ayudante: Luis Alberto Hernández Pérez

I.INTRODUCCIÓN

El origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) se pierde en los siglos. Una de las vertientes, está asociada a la necesidad de describir el movimiento de los cuerpos...de todos los cuerpos: de los que se mueven sobre la superficie terrestre, los que se mueven hacia la superficie terrestre o los que se mueven en el firmamento formando parte del sistema solar. Para escribir las ecuaciones de movimiento de cada uno de ellos, fue necesario introducir (desarrollar) una matemática ad hoc que estableciera una relación causa (fuerza)-efecto (aceleración). Esta fue labor del físico y matemático de Cambridge Isaac Newton. Como él mismo lo reconoció, parado en hombros de gigantes, sus investigaciones lo llevaron a enunciar la ley de gravitación universal y con ella escribir la ley de movimiento de los planetas del sistema solar sentando así las bases de la mecánica celeste. Con el tiempo, físicos y matemáticos de la talla de Lagrange, Laplace y Poisson por sólo mencionar a unos cuantos, fueron abonando esta basta área. Otra vertiente que también se pierde en los siglos, está relacionada con la necesidad de describir el movimiento de los fluídos. Desde las leyes de la hidrostática con Arquímides en la antigua Grecia, hasta los Bernoulli para llegar a las formulaciones más acabadas, más pulidas para describir la dinámica de fluídos a lo que tanto contribuyeron Navier y Stokes. Paralelo al planteamiento de gran cantidad de leyes dinámicas, fue necesario el desarrollo de los fundamentos matemáticos que les dieran soporte. De esta manera, problemas en apariencia de interés estrictamente matemático, fueron surgiendo con la finalidad de saber si un problemas tiene solución y si la tiene, determinar si ésta es única. Si existe y es única, ¿cuál es? Con el tiempo, los físicos y los matemáticos, se dieron cuenta que aún cuando se pudieran resolver afirmativamente las dos primeras preguntas, no siempre era posible determinar la solución o en los casos en los que se podía determinar, nos siempre ésta era expresable en términos de funciones elementales. Esto planteó la necesidad de desarrollar aproximaciones numéricas a través de las cuales se pudieran tener estimaciones de la solución. El resultado de ello fue la apertura de otra gran área fundamental en la modelación matemática: el análisis numérico.

En el escenario apenas bosquejado en las líneas anteriores, a lo largo de este curso haremos una presentación introductoria principalmente de diferentes tipos de EDO: de grados uno y dos, de lineales y no lineales y de sistemas de dos EDO de primer orden. La forma como la haremos será, en un primer acercamiento, presentando problemas de diferente origen (desde físicos, químicos, ecológicos, geológicos, etc), que lo que nos llevará a una formulación matemática. Una vez que identifiquemos (definamos) el modelo matemático deducido, se presentarán los aspectos matemáticos que tengan lugar y con su ayuda, se retomará el problema planteado para su adecuada interpretación. En este curso, tan importante es la debida fundamentación matemática, como los aspectos de modelación matemática y los numéricos.

II.TEMARIO

1.Planteamiento de problemas

2. EDO y ecuaciones en diferencias de primer orden

a).Modelos de Malthus: discreto y continuo

b).Modelo de Bertalanffy. Determinación de parámetros

c).Modelos de logístico: discreto (comportamiento caótico), el método de la telaraña y continuo. Determinación de parámetros

d).La ecuación autónoma escalar. Puntos de equilibrio, línea de fases.

e).Separación de variables

f).Ecuaciones exactas e integral de línea

3.Bosquejo de la demostración del Teorema de Existencia y Unicidad

a).Puntos de no unicidad y soluciones singulares

b).Condición de Lipschitz

c).Equivalencia de dos problemas

d).Las aproximaciones sucesivas

e).Convergencia de las aproximaciones sucesivas

4.Aproximaciones numéricas elementales

a).Método de Euler. Estimación del error

b).Método de Euler mejorado. Estimación del error

c).Bosquejo de los métodos de Runge-Kutta

5.EDO de segundo orden

a).Estructura algebráica del conjunto de soluciones de la lineal

b).El wronskiano, dependencia e independencia lineal

c).EDO con forzamiento. Fenómeno de resonancia

d).Coeficientes indeterminados

e).La ecuación de Euler

6.Sistemas de dos EDO de primer orden

a).Relación EDO de segundo orden y sistemas de 2x2

b).Sistemas lineales: soluciones, punto de equilibrio y su clasificación. El retrato fase

c).Retrato fase del oscilador armónico y del oscilador armónico amortiguado.

d).Introducción a sistemas no lineales

e).Sistema de Lotka-Volterra para presa-depredador. Las respuestas funcionales.

f).El oscilador de van der Pol: Un ciclo límite atractor

III. REFERENCIAS

1.Blanchard y Devaney: Ecuaciones Diferenciales con una Introducción a Sistemas Dinámicos

2.M Braun: Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones.

3.J L Gutiérrez Sánchez y F Sánchez Garduño: Matemáticas para las Ciencias Naturales. Sociedad Matemática Mexicana, 1998

4.J L Gutiérrez Sánchez y F Sánchez Garduño: Matemática del Crecimiento Orgánico: De la alometría al crecimiento estacional. Las Prensas de Ciencias, Facultad de Ciencias, UNAM, 2017

5.Simons: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplicaciones con Notas Históricas

IV. EVALUACIÓN

Constará de dos partes:

a) Cuatro tareas que se reportan en equipo. El número de integrantes del equiṕo dependerá del tamaño del grupo.

b) Cuatro exámenes individuales

El peso de cada parte es del 50%, siempre que el promedio de los exámenes individuales sea mayor o igual a 6. Se podrán reponer hasta dos exámenes.

VI.CLASES EN LÍNEA.

Las clases se impartirán en línea para lo cual usaremos la plataforma Classroom. Para esto es recomendable que se conecten a través de su cuenta de correo institucional: xxx@ciencias.unam.mx

Estos son los datos para que se conecten:

Enlace: https://classroom.google.com/u/0/c/MjczOTlxNjc0NTc3?hl=es

Clave de acceso: s6aw34y

El 1 de marzo tanto mi ayudante como yo, nos conectaremos a las 11:45 a fin de que los estudiantes que se conecten, vean que hay actividad. Les pido un favor: pásenle la información a aquellos compañeros suyos que ustedes sepan quieren inscribirse en este grupo.