Ciencias de la Tierra (plan 2011) 2021-2

Cuarto Semestre, Matemáticas para las Ciencias de la Tierra IV

1. De la plataforma y las caracterı́sticas del curso en lı́nea

El curso se desarrollará con las herramientas de las plataformas Classroom y Meet de Google.

1. En cada sesión se generarán notas de clase mediante una pizarra electrónica.
2. Algunos temas se desarrollarán en hojas de trabajo de Maple que los estudiantes podrán trasladar a Matlab o Mathematica, si lo desean.
3. Cuando sea posible, se complementará lo que se discuta en clase con materiales de educación matemática disponibles en la red de internet.
4. Las notas de clase, hojas de Maple y vı́nculos y referencias a recursos complementarios se subirán al Classroom al terminar cada sesión.

2. Introducción

Los cursos de matemáticas de las licenciaturas en Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Computación son un espacio para que los estudiantes se inicien en el uso de los contenidos, métodos y significado de la matemática aplicada a la construcción de conocimiento. En ellos se trata de propiciar el aprendizaje de esta disciplina como un método de investigación con el que es posible representar aspectos esenciales de procesos naturales en todas las escalas y las más diversas formas de organización de la materia, con el propósito de deducir posibles formas de comportamiento de tales procesos. En particular, se trata de representarlos como sistemas dinámicos; es decir, como constituidos por componentes relacionadas cuyas interacciones, plausiblemente, producen cambios observables.

Los aparatos matemáticos para desarrollar esas representaciones son las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones recurrentes o en diferencias. A su vez, el instrumental con el que se construyen estos aparatos incluye, primordialmente, el cálculo infinitesimal de una y varias variables y el álgebra lineal. Ası́, en los cuatro cursos de ambos planes de estudio, se desarrollan las bases necesarias de álgebra lineal; el cálculo diferencial e integral de una variable (Matemáticas i) y de varias variables (Matemáticas ii y Matemáticas iii) y la introducción a la teorı́a de los sistemas dinámicos continuos mediante ecuaciones y sistemas de euaciones diferenciales, propia de este cuarto curso.

Sin embargo, iniciaremos con una revisión del último tema de Matemáticas iii sobre integrales de superficie, el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes que o se ven muy superficialmente o no se ven, al final de aquella asignatura.

3. Temario

El contenido temático oficial de este curso puede bajarse de la red desde el sitio:

https://web.fciencias.unam.mx/licenciatura/asignaturas/1440/1417

y será cubierto aproximadamente en el orden que se indica a continuación:

3.1. Integrales de superficie y dos teoremas integrales

1. Las integrales de superficie y sus aplicaciones.
2. Teorema de la divergencia.
3. Teorema de Stokes.

3.2 Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos

1. La derivada y la tasa relativa y absoluta de variación.
2. Modelos simples de crecimiento.
3. Modelos simples de movimiento.

3.3. Ecuaciones de primer orden

1. Ecuaciones diferenciales y tipos de solución (a) analíticas, (b) numéricas, (c) con análisis cualitativo.
2. Problemas de valor inicial.
3. Variables separables.
4. Ecuaciones lineales.
5. Ecuaciones exactas.
6. Teorema de existencia y unicidad.
7. Soluciones en serie de potencias.
8. Ecuaciones autónomas y estabilidad.

3.4. Ecuaciones de segundo orden

1. Ecuaciones de segundo orden y sistemas.
2. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
3. Movimiento armónico.
4. Ecuaciones inhomogéneas: método de los coeficientes indeterminados.
5. Variación de parámetros.
6. Movimiento armónico forzado.

3.5. La transformada de Laplace

1. Definición y propiedades básicas.
2. La transformada inversa.
3. Uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
4. Términos de forzamiento discontinuos.

3.6. Introducción a los sistemas

1. Definiciones y ejemplos.
2. Interpretación geométrica de las soluciones.
3. Análisis cualitativo.
4. Propiedades de los sistemas lineales.

3.7. Sistemas lineales con coeficientes constantes

1. Sistemas en el plano.
2. Retratos fase en el plano.
3. El plano traza-determinante.
4. Análisis cualitativo de sistemas lineales.
5. Sistemas de dimensión mayor.

3.8. Introducción a sistemas no lineales en el plano

1. Sistemas depredador-presa.
2. Linealización de sistemas no lineales.
3. Comportamiento de las soluciones en el largo plazo.
4. Nuloclinas y conjuntos invariantes.

3.9. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

1. Problemas con valores en la frontera.
2. La ecuación del calentamiento. Separación de variables para esta ecuación.
3. La ecuación de onda.
4. Ecuación de Laplace.

4. Evaluación

A lo largo del semestre se harán cuatro exámenes parciales; los tres primeros constarán de dos partes: una lista de problemas que debe hacerse en equipo y una prueba individual; el cuarto parcial constará sólo de una lista de problemas.

4.1. En relación con las listas de problemas

1. Deberán ser resueltas en equipos de dos o tres personas. La elaboración de los reportes se distribuirá equitativamente entre los miembros del equipo y cada uno se identificará como autor de la parte que elaboró aunque todo el equipo será responsable de los resultados que entregue cada uno de sus miembros.

2. Los ejercicios de cada lista se irán dejando conforme se avance en el programa en “pequeñas dosis” que se asignarán como tareas en el Classroom; ahı́ se indicará la fecha y hora de la entrega; aproximadamente cada dos semanas habrá sesiones especiales de asesorı́a con la profesora Luisa Fernanda Arenas y con el profesor César Jullien López para plantear y resolver dudas relacionadas con la tarea.
   
   

4.2. En relación con las pruebas individuales

1. Se aplicarán en lı́nea durante las sesiones correspondientes a las fechas programadas. Esos dı́as es particularmente importante incorporarse a la videoconferencia puntualmente.
2. Al finalizar el tiempo de máxima resolución indicado en el enunciado del examen, los estudiantes lo digitalizarán y lo subirán al Classroom; a continuación, el examen se resolverá en clase con todo detalle para que, después, cada alumno elabore individualmente un reporte de autoevaluación en el que identifique sus fortalezas y debilidades; en este reporte, el alumno manifestará con claridad lo que comprendió plenamente o las dudas relacionadas con la solución correcta de algún ejercicio y tratará de identificar los errores que hubiera cometido o lo que no hubiese entendido de algún problema.
3. El reporte de autoevaluación deberá subirse al Classroom el mismo dı́a de la prueba individual antes de la media noche.
4. La profesora Luisa Fernanda Arenas y el profesor César Jullien López revisarán con los estudiantes los temas que éstos hayan identificado en su reporte como carencias y asignarán la calificación correspondiente al examen con base en la pertinencia de la autoevaluación que hayan entregado.
   
   

4.3. De la calificación final

La calificación de los tres primeros parciales es el promedio ponderado de lo que se obtenga en la lista de problemas (70 %) y de la prueba individual (30 %). El 100 % de la calificación del cuarto parcial es lo que se obtenga en la lista de problemas correspondiente. La calificación final se obtiene promediando la del 4to parcial con las dos calificaciones más altas de los otros tres parciales; es decir, se desdeña la menor de las tres primeras y las otras dos se promedian con la del cuarto parcial. La calificación mı́nima aprobatoria es 6. Si no aprueban el curso, se reportará como que no se presentaron (NP).

La asistencia a clase a lo largo de todo el curso se traducirá en un punto extra, o la parte proporcional correspondiente, en la calificación final.

Si alguien no está conforme con la calificación que haya obtenido mediante el procedimiento descrito, podrá presentar un examen final que se aplicará el lunes 26 de julio de 2021. Sólo podrán presentar el examen final quienes tengan un 80 % del total de las asistencias registradas y hayan entregado las cuatro listas de problemas.

4.4. Calendario de exámenes parciales

• 1ro Prueba individual y autoevaluación: viernes 26 de marzo.
• 2do Prueba individual y autoevaluación: lunes 3 de mayo.
• 3ro Prueba individual y autoevaluación: lunes 31 de mayo.
• 4to Recepción de la última lista de problemas: miércoles 30 de junio.

NB De ser necesario, este calendario puede modificarse según se desarrolle el curso. Cualquier cambio se acordará oportunamente con el grupo.

5. Sobre la bibliografı́a

El tema 3.1 sobre integrales de superficie y los teoremas de la divergencia y de Stokes se verá según lo presentan Anton, Bivens y Davis en [1]. El texto sobre el cual se desarrollará la mayor parte del resto del curso es el de sPolking, Boggess y Arnold [4]; los de Braun [3], Simmons [5] y Blanchard, Devaney y Hall [2] son referencias complementarias; los dos primeros, particularmente interesantes por la contextualización histórica con la que presentan muchos de los modelos que discuten; el tercero, por su énfasis en los métodos numéricos y de análisis cualitativo desarrollados en los últimos cincuenta años. Todos pueden bajarse gratuitamente de la red de internet y hay versiones en español de las primeras ediciones de las referencias complementarias.

Referencias

[1] Anton, Howard; Irl Bivens y Stephen Davis (2009). Calculus. Early Trascendentals. 10th Edition. Hoboken, Nueva Jersey, John Wiley and Sons, (xx + 1168 pp. + apéndices).
[2] Blanchard, Paul; Robert L. Devaney y Glenn R. Hall (1998): Differential Equations. Boston, Brooks/Cole (xx + 834 pp.).
[3] Braun, Martin (1990): Differential Equations and Their Applications. 4th Edition. Nueva York, Springer (xvi + 578 pp.).
[4] Polking, John; Albert Boggess y David Arnold (2006). Differential Equations with Boundary Value Problems 2nd Edition. Nueva Jersey, Pearson Prentice Hall (xiv + 703 pp. + apéndices).
[5] Simmons, George F. (2017). Differential Equations with Applications and Historical Notes. 3rd Edition. Boca Raton, Chapman and Hall (xxii + 740 pp.).