Actuaría (plan 2006) 2021-2

Cuarto Semestre, Probabilidad II

Programa de Probabilidad II

Estimados alumnos, espero se encuentren bien ustedes al igual que su familia, me es un gran gusto saludarlos y darles la bienvenida al curso de Probabilidad II, en el que trabajaremos con muchas ganas y entusiasmo frente a la situación actual por la que estamos pasando por el tema de COVID 19.

A continuación, se dará a conocer la dinámica que se llevará a cabo en el presente curso:

1. El curso se llevará a cabo por medio de la plataforma Google Meet y Google Classroom.

2. Las entregas de las actividades (tareas, exámenes, etc.) que se deben realizar para fines del curso se hará por medio de Google Classroom, por lo cual, es necesario que ingresen al grupo con el siguiente código: z4qp5z7.

3. El lunes 1 de marzo a las 8:00 AM, se llevará a cabo la primera sesión por Google Meet en el siguiente link: https://meet.google.com/lookup/gyemilm5yp

4. El curso estará basado en el temario oficial de la materia que se presenta a continuación:

Objetivos generales: Que el alumno trabaje con vectores aleatorios, esto es, variables aleatorias en dimensiones mayores a uno y probar resultados clásicos importantes en la Teoría de la Probabilidad.

Objetivos específicos:

· Conocer algunas definiciones básicas sobre vectores aleatorios y sus características.

· Estudiar funciones relacionadas con el concepto de momentos y esperanza condicional.

· Analizar métodos para la obtención de la distribución de funciones de vectores aleatorios.

· Entender el concepto de sucesiones y convergencia basados en teoremas y lemas relacionados con las variables aleatorias. Aplicar los resultados.

Tema 1. Vectores aleatorios.

• Definiciones básicas y ejemplos.
• Distribuciones conjuntas, marginales y sus propiedades.
• Vectores aleatorios discretos (repaso) y absolutamente continuos. Densidades y densidades marginales.
• Densidades y distribuciones condicionales de vectores aleatorios discretos, continuos y mezclas, incluyendo sumas aleatorias.
• Independencia.
• Suma de variables aleatorias independientes (convolución).
• Vectores Gaussianos.

Tema 2. Momentos y esperanza condicional

• Definiciones básicas. Esperanza, varianza, covarianza y coeficiente de correlación.
• Desigualdades, incluyendo las de Jensen, Cauchy-Schwartz.
• Función generadora de momentos, función generadora de momentos factoriales.
• Esperanza condicional, propiedades y ejemplos en los casos discreto, continuo y mezclas, incluyendo sumas aleatorias.
• Varianza Condicional. La esperanza condicional minimiza la varianza condicional.

Tema 3. Distribuciones de Funciones de Vectores Aleatorios

• Distribuciones de Máximos, Mínimos y Estadísticas de Orden. Distribución
• Método usando el Teorema de Cambio de Variable.
• Método para sumas de variables aleatorias independientes, usando funciones generadoras.

Tema 4. Sucesiones y convergencia de variables aleatorias

• Distintos modos de convergencia: convergencias casi seguras, en probabilidad, en distribución, en media cuadrática. Definición y propiedades.
• Lema de Borel Cantelli.
• Algunas versiones de las Leyes Débil y Fuerte de los Grandes.
• Números, con demostración (por ejemplo, la ley fuerte con cuarto momento finito).
• Función Característica.
• Teorema de continuidad de Levy (sin demostración).
• Teorema del Límite Central.
• Simulación y aplicaciones.

5. Para las sesiones se utilizará Google Meet; durante éstas se desarrollará contenido de clase y se resolverán dudas.

6. Las clases serán impartidas por el profesor y el ayudante. Los días de las clases con el profesor serán los días lunes, miércoles y viernes, los martes y jueves con el ayudante.

7. Las reuniones por videoconferencia serán grabadas con el consentimiento de todos y estarán disponibles en el grupo de Classroom antes mencionado.

8. Se manejará un sistema de evaluación continua, adicionalmente tareas cortas, tareas largas y exámenes.

9. La evaluación se ponderará de la siguiente manera:

- 1º y 2º examen parcial con valor de 15% cada uno

- 3º examen parcial con valor de 20%

- 4º examen parcial con valor de 25%

- 4 tareas con valor de 25%

10. Bibliografía

• Hoel, P. G. (1971). Introduction to probability theory (No. 04; QA273, H64.)
• García, M. A. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. Segundo curso. México: Fondo de Cultura Económica.
• Mood, A. M., Graybill, F. A., Boes, D. C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3a ed.). McGraw-Hill.
• Ross, S. (1997). A first course in probability theory (5a ed.). Prentice Hall.

Para bibliografía complementaria consultar temario oficial: http://www.fciencias.unam.mx/asignaturas/626.pdf