Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

Unanse al grupo de TELEGRAM del curso y al CLASSROOM.

[ [ [ Video Presentación del curso ] ] ]

Acerca del curso

Este curso pretende tomar como principal objeto de estudio la teoría de la medida abstracta, es decir, el estudio del concepto de medida y de las propiedades que se derivan y relacionan directamente con este. La linea conductora del curso será el temario oficial (liga aquí). Sin embargo, este curso no pretende ver la teoría de la medida como un área aislada de la matemática, por lo que se estudiarán y señalan las interacciones con otras áreas que se encuentren a nuestro alcance. Un aspecto importante del curso es la perspectiva teórico conjuntista a partir de la cual se llevarán a cabo los estudios, por lo que la teoría de las álgebras de Boole y la teoría descriptiva de conjuntos tendrán oportunas y útiles apariciones.

Para los objetivos del curso se asumirá el material contenido en los cursos de análisis matemático I. Cálculo I y II. Álgebra lineal I. Los conocimientos sobre topología o teoría de los conjuntos no son un requisito, pues en estos tópicos el curso será autocontenido. Quienes tengan conocimientos de topología I y teoría de los conjuntos I sólo tendrán la ventaja de la comodidad ante algunos conceptos por la experiencia que poseen.

Temario

(A) Álgebras y sigma-álgebras (2 semanas)

(A.1) La potencia de un conjunto y su estructura álgebraica;

(A.2) Álgebras de Boole: álgebras de conjuntos; y

(A.3) Sigma álgebras.

(B) Espacios y funciones medibles (2 semanas)

(B.1) Espacios medibles;

(B.2) Relaciones y funciones entre espacios medibles; y

(B.3) Conjuntos Borel medibles y conjuntos Baire medibles.

(C) El concepto de medida (3 semanas)

(C.1) Medidas exteriores y submedidas;

(C.2) Definición de medida y espacios de medida;

(C.3) Construcciones de medidas y submedidas; y

(C.4) La medida de Lebesgue y conjuntos Lebesgue medibles.

(D) Integración de funciones medibles (2 semanas)

(D.1) Definición de integrabilidad;

(D.2) Propiedades básicas de la integral respecto a una medida;

(D.3) Teoremas de convergencía; y

(D.4) Teoría de Fubini.

(E) Medidas y submedidas para producir objetos (2 semanas)

(E.1) Medidas y submedidas como relaciones de equivalencia;

(E.2) Medidas y submedidas como precursores de topologías; y

(E.3) Medidas como normas, los espacios de Banach L_p.

(F) Teorema de Radon-Nikodym (2 semanas)

(F.1) Medidas con signo;

(F.2) Continuidad absoluta entre submedidas y medidas;

(F.3) Teorema generalizado de Radon-Nikodym

(G) Estructuras Borel (3 semanas)

(G.1) Espacios Borel estandar; y

(G.2) Espacios Borel estandar de medida.

Evaluación

(A) Se llavarán a cabo TRES evaluaciones por tarea examen. [A, B, C],[D,E] y [F,G]. La tarea examen se puede entregar individual o en equipo. Estamos abiertos a otros modelos de evaluación que sean más propicios para las y los estudiantes interesados en el tema.

(B) La calificación final será por lo menos el promedio de las tres evaluaciones.

(C) [EN CONSTRUCCIÓN] Acá se iran TEXiendo las listas de problemas, https://www.overleaf.com/project/6025a44835265f3e67f1de88 Las tareas examen serán un subconjunto de los problemas de estas listas.

Formato del curso

(A) Se produciran pequeños y concretos videos que se ubicaran en YouTube. Cada video se centrará en revisar una definición o resultado de la teoría que se este trabajando. Para ejemplos ver los videos de Análisis I.

(B) Habrá por lo menos un día a la semana, en el horario asignado, asesorias para la tarea o probelmas en vivo. La participación no es obligatoria y nunca se tratará algo importante sobre la metodología del curso en estas sesiones.

(C) Nos apoyaremos de la plataforma Classroom de Google. Este enunciado es el vinculo al curso. y este el códigoysevla3 . En el Classroom se organizaran los videos y recursos por temas para el trabajo del semestre.

(D) Se tendrá un grupo de Telegram acá la liga https://t.me/teoria_de_la_medida_I_FN el grupo se usa para comunicación directa y fácil. Se atienden dudas y se organizan las cuestiones importantes del curso que van saliendo a lo largo del semestre.

Bibliografía [https://youtu.be/tFdxqrPCGc4?t=933]

(A) Hjorth, G. - Measure theory. Notas sin publicar

(B) Salamon. - Measure and integration

(C) Kolmogorov, A. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional.

(D) Fremlin, D. - Measure theory Volumen I.

(E) Schwartz, L. - Radon measures on arbitrary topological spaces...

(F) Topsoe, F. - Topology and measure.

(G) Kechris, A. - Classical descriptive set theory.

(H) Christensen. Topology and Borel structure.

A, B y C Conformaran los dos textos centrales del curso. G y H son textos son de apoyo, solo se haran revisión de algunos resultados muy concretos y de ayuda. Los demás textos conforman sugerencias para quieres deseen profundizar en la materia.

Otros recursos

(A) Los videos del curso de análisis matemático I :: AQUÍ

(B) Las notas de teoría descriptiva de conjuntos :: AQUÍ

(C) Las notas de análisis matemático I :: AQUÍ