Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles V y VI, Sistemas Dinámicos Discretos I

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Lugar y horarios
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Vínculo al Google Meet del curso:

http://meet.google.com/kse-zffg-dyf

La presentación del curso se realizará el Martes 2 de Marzo a las 10 am. El inicio del curso será el Miércoles 3 de Marzo.

Las clases se realizarán:

• En línea vía Google Meet.
• Por el profesor Lunes, Miércoles y Viernes en el horario asignado.

Debido a que gran parte (o quizá todo) el semestre se realizará con clases en línea, los elementos para evaluación se modificarán de acuerdo al modo presencial o en línea [ver sección Evaluación más abajo].

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Temario
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En este curso se introduce al estudio de los sistemas dinámicos discretos en 1 dimensión real (es decir, en subconjuntos de ℝ o el círculo) y en espacios métricos generales (área llamada dinámica topológica). El curso estará dividido en 4 unidades:

1. Conceptos básicos de dinámica topológica y dinámica en ℝ.

a) Introducción.

Modelos de poblaciones. Métodos numéricos iterativos. Sistemas Dinámicos y Sistemas Dinámicos Discretos.

b) Conceptos básicos.

Iteradas e Iteraciones. Órbitas. Puntos Fijos, Periódicos y Pre-Periódicos.

c) Hiperbolicidad.

Puntos Atractores y Repulsores. Puntos Neutros. Teoremas de Hiperbolicidad.

d) Herramientas Visuales.

Retrato Fase. Análisis Gráfico.

e) Teorema de Sharkovsky.

Teorema de Li-Yorke. Teorema y Orden de Sharkovsky. La duplicadora.

2. Caos y Estabilidad.

a) Estabilidad.

Estabilidad de órbitas. El ω-conjunto límite. Recurrencia.

b) Caos.

Sensibilidad a las condiciones iniciales. Transitividad Topológica. Órbitas Densas. Teorema de Jacobi. Definición de Caos de Devaney.

c) Conjugación Topológica.

Propiedades dinámicas que se conservan bajo conjugación. Equivalencia de sistemas.

d) Medidas de Estabilidad y Caos.

Exponentes de Lyapunov. Entropía Topológica.

3. Sistemas dinámicos discretos en otros espacios.

a) Dinámica Simbólica.

La función corrimiento en el espacio sucesiones de N símbolos. Itinerarios. El Conjunto de Cantor. Subcorrimientos de tipo finito. La sumadora de Misiurewicz.

b) Homeomorfismos del Círculo.

Homeomorfismos y Levantamientos. El Número de Rotación.

4. Familias y espacios de funciones.

a) Familias de Funciones.

Diagramas de Órbitas. Diagramas de Bifurcación.

b) Bifurcaciones.

Bifurcación Tangente. Bifurcación de Duplicación del Periodo. Teoremas de existencia de bifurcaciones. Otras bifurcaciones.

c) Familia Logística.

Análisis de Bifurcaciones. Zona Caótica. Ventanas del Diagrama. Ejemplo de Renormalización.

d) Estabilidad Estructural.

Espacios de funciones. Ejemplos de Estabilidad Estructural. El Lema de Cierre en el círculo.

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Pre-requisitos
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Opcional: Topología I.

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Evaluación
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Modo en línea

• 80%. Cuatro tareas-examen, una por unidad-mes (U1-Marzo, U2-Abril, U3-Mayo, U4-Junio).
• 20%. Un escrito con el desarrollo de un tema (ver abajo), a entregarse a finales de Junio.
• Para derecho a exámenes de reposición y examen final, haber entregado al menos 2 tareas-examen.

Modo presencial

• 30%. Cuatro tareas, una por unidad-mes (U1-Marzo, U2-Abril, U3-Mayo, U4-Junio).
• 60%. Cuatro exámenes, uno por unidad-mes. Se permiten reposiciones de todos los exámenes, máximo 2 reposiciones.
• 10%. Una exposición con duración de 30 minutos, a realizarse a finales del mes de Junio.
• Para derecho a exámenes de reposición y examen final, haber presentado al menos 2 exámenes y haber entregado al menos 2 tareas.

Temas propuestos: Teoremas sobre la definición de Caos de Devaney, Resultados de Entropía Topológica, El Atractor de Sistemas de Funciones Iteradas, La Constante de Feigenbaum, La Derivada Schwarziana, Dinámica en Hiperespacios, Las Lenguas de Arnol'd, Secuencias Sturmianas, y muchos otros.

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Bibliografía
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• Principal.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
• Complementaria.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004
  • Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems-Theory & Experiments. 1992.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.