Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

El curso está orientado hacia estudiantes interesados en análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales.

Requisitos: Cálculo I-IV, álgebra lineal I-II, ecuaciones diferenciales odinarias I, análisis matemático I-II.

Temario:

I. Elementos de análisis fucional y ecuaciones diferenciales parciales.(**)

• Transformada de Fourier en L^{2}.
• Elementos de teoría de distribuciones (derivada distribucional, distribuciones temperadas, delta de Dirac).
• Espacios de Sobolev (Regularizadores, espacios H^{k}, teoremas de densidad, teorema de extensión, cambios de coordenadas y teorema de traza, espacios duales a espacios de Sobolev, encajes de Sobolev).
• Formulación débil de ecuaciones diferenciales parciales (Teorema de Lax-Milgram, ecuaciones de Helmholtz y de Laplace).
• Topologías débiles y teorema de Banach-Alaoglu.
• Espacios de Bochner (Funciones medibles vectoriales, teorema de Pettis, integral de Bochner, teorema de Bochner, teorema de Hille y espacios de Bochner).

II. Teoremas de puntos fijos y algunas aplicaciones.

• Teorema de punto fijo de Brouwer (Lagrangianos nulos).
• Teorema de punto fijo de Schauder.
• Teoremas de punto fijo de Schäfer y Leray-Schauder.
• Teorema de punto fijo de Banach.
• Aplicaciones (Método de Galerkin y teorema de Minty-Browder, Teorema de Picard, p-Laplaciano).

III. Formulación matemática de la ecuaciones de Navier-Stokes.

• Cuerpos continuos.
• Formulación Lagrangiana y formulación Euleriana (teorema de transporte de Reynolds).
• Conservación de masa.
• Fuerza y Balance de momento.
• Balance de Energía.
• Ecuaciones constitutivas y segunda ley de la termodinámica.

IV. Problema de Stokes.

• Desigualdad de Necas y desigualdades de Poincaré asociadas.
• Caracterización de espacios gradientes: Teorema de De Rham.
• Existencia y unicidad del problema de Stokes.
• Descomposición de Helmholtz-Weyl.

V. Ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias.

• Existencia.
• Unicidad para datos pequeños.
• Regularidad. (*)

VI. Soluciones débiles de las ecuaciones de Navier-Stokes.

• Funciones de prueba adecuadas y eliminación del campo de presión.
• Formulación débil: Propiedades de soluciones débiles.
• Unicidad de soluciones débiles en dimensión n=2.

VII. Ecuaciones de Navier-Stokes linealizadas.

• Existencia y unicidad local para el problema de valores iniciales y de frontera.

VIII. Ecuaciones de Navier-Stokes (caso no-lineal).(*)

• Teoremas de compacidad.
• Teoremas de existencia y unicidad local (Galerkin).

Notas:

• Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.
• En el bloque marcado con (**) nos enfocaremos en ciertos temas como son: Espacios duales de espacios de Sobolev, Formulación débil de EDP, Topologías débiles y teorema de Banach-Alaoglu y, espacios de Bochner; el resto de temas, al ser temas básicos de análisis se impartirán de manera que nos tomen el menor tiempo posible. En particular si los interesados en el curso están familiarizados con éstos, los omitiremos del temario. Esto se determinará el primer día de clases.

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Boyer, Fabrie. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Chipot. Elliptic Equations: An Introductory Course.
• Chipot. Elements of Nonlinear Analysis.
• Chorin, Marsden. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.
• Constantin Foias. Navier-Stokes Equations.
• Deimling. Nonlinear Functional Analysis.
• Drabek, Milota. Methods of Nonlinear Analysis.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Galdi. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations.
• Gonzalez, Stuart. A First Course in Continuum Mechanics.
• Gurtin. An Introduction to Continuum Mechanics.
• Kesavan. Nonlinear Functional Analysis A First Course.
• Ladyzhenskaya. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow.
• Lemarié-Rieusset. The Navier-Stokes Equations in the 21st Century.
• Lukaszewics Kalita. Navier-Stokes Equations.
• Majda, Bertozzi. Vorticity and Incompressible Flow.
• Robinson, Rodrigo, Sadowski. The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations.
• Schechter. An Introduction to Nonlinear Analysis.
• Schwartz. Nonlinear Functional Analysis.
• Sohr. The Navier-Stokes Equations.
• Temam. Navier-Stokes equations.
• Tsai. Lectures on Navier-Stokes Equations.
• Zeidler. Nonlinear Functional Analysis and Its Applications.

Evaluación:

• El curso se evaluará mediante tareas semanales que valdrán un 60% de la calificación final, un examen parcial que valdrá 20% de la calificación final y un examen final que valdrá el restante 20% de la calificación.
• Cada semana el alumno recibirá entre 3 y 4 horas de video-lecciones y tendrá que asistir a una reunión semanal por google meet donde el profesor resolverá dudas y una ayudantía. Éstas se llevarán a cabo en las horas de la clase.
• Las tareas se entregan en Latex.
• Durante la semana del 22 de enero aparecerá un link donde se presentará el curso y se darán indicaciones para la primera reunión.

En el siguiente link encontrarán la presentación del curso:

https://youtu.be/e1-D-M9VFdA

El lunes, unos minutos antes de las 1500hrs aparecerá en esta página el link para la reunión google meet

Link para reunión el lunes 01/03/2021 a las 1500hrs:

https://meet.google.com/lookup/bf2lxj5vvj