Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Combinatorio

Las definiciones de polígono y poliedro suelen variar de persona a persona, por lo que para hablar de poliedros regulares, necesitamos ponernos de acuerdo en las definiciones.
Pensemos en los poliedros que todas sus caras son regulares e isomorfas y todas sus figuras de vértice también son regulares e isomorfas: los griegos los enumeraron y aparecen en Los Elementos de Euclides; hay exactamente 5 Sólidos Platónicos. Sin embargo, dos milenios después de este análisis de los griegos, Kepler encontró dos poliedros regulares más y a principios del siglo XIX Poinsot los re-descubrió y encontró dos más; finalmente, Cauchy probó que la lista estaba ya completa. Pero en 1920 Petrie y Coxeter encontraron 3 poliedros regulares nuevos y, de nuevo, mostraron que la lista estaba completa. Quizá ya no nos sorprendió cuando en 1977 Grünbaum encontró familias enteras de poliedros regulares nuevos...

En este curso estos poliedros regulares y, bajo una definición, daremos la enumeración completa de aquellos que viven en el espacio Euclidiano tridimensional (resultado probado por Dress en 1985). Después veremos formas de generalizar la definición con la que habremos trabajado y buscaremos ejemplos que no entren dentro de la enumeración dada.

Se dará por hecho que quienes entren a este curso han llevado ya Álgebra Moderna 1. Conocimientos básicos sobre teoría de gráficas serán de utilidad.

La primera reunión será el lunes 1 de marzo del 2021 a las 16:00 horas en la liga de zoom:

Todo el material del curso (incluyendo videos, notas, tareas, etc...) serán organizadas en una plataforma virtual (probablemente classroom, pero quizá se use moodle)

Temario tentativo

1. Sólidos platónicos, poliedros de Kepler Poinsot y poliedros de Petrie Coxeter
2. Poliedros de Grünbaum-Dress
3. Isometrías del plano y del espacio
4. Grupos finitos de isometrías
5. Simetrías de los poliedros regulares estudiados
6. Definición combinatoria de poliedro
7. Grupos de automorfismos de poliedros regulares
8. Enumeración de poliedros regulares en el espacio
9. Mapas en superificies y sus simetrías
10. Mapas regulares y de pocas órbitas en banderas.