Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

Seminario de Álgebra A, Semestre 2021-2

Horario: 12 a 13 horas

Requisitos, variable compleja I, o llevarla de manera simultánea.

Temario: Grupos fuchsianos y geometría hiperbólica.

Importancia: Esta rama está en la colindancia de casi todas las áreas de la matemática y algunas de la física: álgebra, geometría, topología, análisis real y complejo, teoría de números, teoría de nudos, relatividad, fractales, dinámica holomorfa, geometría diferencial y algebraica, teselaciones, …. En este sentido su importancia y belleza es enorme. Muchas medallas Fields han sido otorgadas en esta dirección, desde Klein, Riemann y Poincaré, grandes matemáticos han trabajado en esta rama.

Cuando en la matemática un área se vincula con muchas otras, todo cobra más luz y sentido.

El nombre pudo haber sido también: seminario de geometría, o seminario de análisis ( Se habla de grupos de transformaciones de Moebius, las teselaciones que inducen y muchas cosas más).

Dada la pandemia, las exposiciones las haré yo, y no los estudiantes.

El temario en detalle:

1.TRANSFORMACIONES DE MOBIUS. Proyección estereográfica, métrica cordal, transformaciones de Möbius,(PSL(2,C), propiedades, clasificación y geometría, biyecciones meromorfas y conformes de la esfera en la esfera, transformaciones que preservan "discos", PSL(2,R), M($\Delta$), multiplicadores, puntos fijos, clasificación por la traza. Densidades, métrica hiperbólica del semiplano y del disco de Poincaré, fórmulas de distancia, geodésicas, círculos, paralelismo, ejemplos. Grupos generados por reflexiones, grupo general de Möbius grupo de todas las isometrías, haces de geodésicas y haz ortogonal, breve introducción a la geometría hiperbólica tridimensional.

2.DISCONTINUIDAD, GRUPOS FUCHSIANOS. Conmutatividad y puntos fijos en PSL(2,C), discontinuidad, conjunto límite y ordinario, propiedades de conjugación e invariabilidad, el grupo clásico modular, subgrupos principales de congruencias, grupos discretos, relación discreto-discontinuo, dominio de discontinuidad para subgrupos discretos de PSL(2,R), grupo abeliano implica cíclico, criterios de discrecionalidad, grupos estabilizadores, grupos fuchsianos y kleinianos, grupos horocíclicos, grupos normales de horocíclicos son horocíclicos, grupos normalizadores, grupos puramente hiperbólicos, teorema de Siegel, Lauritzen. Conjunto límite de un grupo fuchsiano, propiedades: cerrado, perfecto, acumulación de casi todas las órbitas, en ninguna parte denso o toda la recta. Conjunto derivado, grupos elementales y no elementales, otras caracterizaciones del conjunto límite: cerradura de los puntos fijos hiperbólicos o parabólicos.

3.REGIONES FUNDAMENTALES. Conjunto fundamental, región fundamental, ejemplos, área hiperbólica, invariabilidad bajo PSL(2,R), bisector perpendicular = puntos equidistantes, h-convexidad, Construcción del polígono de Dirichlet, prueba de que éste es una región fundamental localmente finita, polígonos de Dirichlet de grupos cíclicos. Polígono de Ford, círculos isométricos, prueba de que el polígono de Ford es una región fundamental, región de Ford-Dirichlet para el grupo modular, otros ejemplos de regiones fundamentales para subgrupos modulares.

Texto: “Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional´´ Segunda edición, Antonio Lascurain Orive, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2017.

Bibliografía Complementaria:

J. Lehner“ A Short Course in Automorphic Functions”.Holt, Rinehart and Winston. 1966.

A. Beardon "The Geometry of Discrete Groups" GTM, Springer-Verlag. 1995

B. Maskit " Kleinian Groups", Springer Verlag. 1987

J. Ratcliffe "Foundations of Hyperbolic Manifolds" GTM, Springer Verlag.,1995.

D. Munford, C. Series y D. Wright "Indras Pearl´s, Cambridge University Press, 2002.

La evaluación va consistir en 40% tareas semanales y 60 % tres parciales que se llevarán a cabo cada 5 o 6 semanas en forma de entrevistas.

La participación es esencial.

Hay que registrarse en Classroom, al inicio del curso con un correo de ciencias. El código es https://classroom.google.com/c/Mjc2MzAzMjU5MDM5?cjc=brvhtcd

El enlace de Meet es https://meet.google.com/lookup/aaqvj654km?authuser=0&hs=179.

La figura consiste en el conjunto límite de un grupo kleiniano