Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Introducción a la Geometría Avanzada

Introducción a la Geometría Avanzada

Materia, optativa de los primeros 4 semestres para estudiantes de las carreras de matemáticas, matemáticas aplicadas, física, actuaría y demás carreras en las cuales se pueden usar conocimientos geométrico-matemáticos.

Seguiremos el libro Introducción a la Geometría Avanzada de Ana Irene Ramírez y José Seade.

Este libro sigue la propuesta de Felix Klein de estudiar geometría observando las simetrías (o movimientos rígidos) del espacio en cuestión, De esta forma se estudian las geometrías clásicas: euclidiana, afín, elíptica, proyectiva e hiperbólica.

Por simplicidad, la atención se centra en el caso bidimensional, que ya es lo suficientemente rico, aunque se incluyen algunos aspectos de las geometrías tridimensionales o n-dimensionales. Una vez que se comprende bien la geometría del plano, es mucho más fácil pasar a dimensiones más altas.

Las ideas fundamentales de las geometrías clásicas se presentan de forma clara y elemental, haciéndolas accesibles a una amplia audiencia y relacionándolas con temas más avanzados de la geometría moderna, como las variedades, los grupos de Lie, la curvatura gaussiana, las acciones grupales y foliaciones.

El libro apela y desarrolla la intuición geométrica del lector. Los únicos requisitos previos son cálculo, álgebra lineal y geometría analítica básica.

Después de estudiar el material, el lector tendrá una buena comprensión de la geometría básica, así como una imagen clara de las relaciones de esta hermosa asignatura con otras ramas de las matemáticas. Si bien está dirigido principalmente a estudiantes de nivel universitario avanzado, el texto puede ser de interés para cualquiera que desee aprender geometría clásica.

Temario

1. Geometría Euclidiana

1.1. Simetras

1.2. Transformaciones rígidas

1.3. Invariantes bajo transformaciones rígidas

1.4. Cilindros y toros

1.5. Subgrupos finitos de E(2) y E(3)

1.6. Patrones de Frisos y teselaciones

2. Geometría Afín

2.1. La recta al infinito

2.2. Transformaciones afines y sus invariantes

3. Geometría Proyectiva

3.1. El plano proyectivo real

3.2. El Principio de Dualidad

3.3. La forma de ℝP²

3.4. Cartas coordenadas para ℝP² (y para ℂP¹)

3.5. El grupo proyectivo

3.6. Invariancia de la razón cruzada

3.7. El espacio de las cónicas

3.8. Propiedades proyectivas de las cónicas

3.9. Polos y polares

3.10. Geometría Elíptica

4. Geometría Hiperbólica

4.1. Los modelos del plano hiperbólico

4.2. Transformaciones del Plano Hiperbólico

4.3. La red de Steiner

4.4. La metrica hiperbolica

4.5. Primeros resultados en Geometría Hiperbólica

4.6. Supercies con estructura hiperbólica

4.7. Mosaicos

Bibliografía:

- Introducción a la Geometría Avanzada, José Seade & Ana Irene Ramírez

- The geometry of the Universe de Roger Penrose

La calificación emanará del trabajo realizado por cada estudiante para realizar sus tareas y exámenes a largo del curso.

También serán tomadas en cuenta las asistencias/inasistencias y participaciones durante las exposiciones de sus profesores.

Nos vemos el día 1 de marzo del 2021 a las 14hrs en la plataforma zoom:

https://cuaed-unam.zoom.us/j/81148865571