Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Presentación

Este curso es una introducción a la geometría diferencial y sus parientes más cercanos. Según el programa oficial, veremos los casos clásicos de curvas y superficies en el espacio euclidiano (“erre tres”), donde podemos visualizar más fácilmente los conceptos y resultados básicos de la teoría. También de acuerdo con dicho programa, es conveniente tener un buen conocimiento del álgebra lineal, el cálculo vectorial y, en ocasiones, de ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, el contenido del curso se puede adaptar fácilmente para dar la motivación de algunos conceptos más avanzados que no sólo tienen utilidad en geometría, sino también en física. Así, en este curso daremos una indicación de la forma de trabajar con la geometría del espacio de Minkowski, entre otras generalizaciones de la teoría básica.

Al principio, daremos una especie de repaso de la teoría de curvas en el espacio euclidiano, que en general es conocido por los cursos de Cálculo. Pero el centro del temario será el estudio de las superficies, siempre apoyados por las técnicas del cálculo diferencial.

Siendo ésta una teoría clásica (algunos de los resultados que veremos datan de hace varios siglos), no es difícil encontrar una buena cantidad de libros de texto útiles en esta materia. Sin embargo, desde hace casi medio siglo se ha impuesto, por su claridad de exposición, el uso del libro de Manfredo do Carmo citado en la bibliografía.

Siendo ésta la materia a la que me dedico, este curso tiene también la no tan velada intención de invitar a los estudiantes para que se adentren en esta línea de trabajo, de la cual iremos comentando a lo largo del semestre.

Forma de trabajo

El curso utilizará las herramientas de Google. El código del grupo en Google Classroom es cetjwp5; o bien, el código de invitación es:

https://classroom.google.com/c/MjY2NzY1ODA1NDg0?cjc=cetjwp5

Es importante que se registren en Classroom con su correo institucional (@ciencias.unam.mx) y que verifiquen que aparezca su nombre completo como identificador.

Sesiones. Las sesiones del curso se desarrollarán vía Google Meet. En Classroom publicaremos el enlace permanente de las mismas.

Listas de ejercicios. Se publicará una lista de ejercicios representativos, de modo que puedan practicar de manera constante a lo largo del semestre. La entrega de estos ejercicios NO será requerida, pero como se verá en la siguiente sección, se recomienda fuertemente que traten de resolverlos.

Quizzes. Con la intención de que los estudiantes se mantengan atentos al ritmo del curso, el viernes de cada semana (salvo las semanas en que haya examen) se publicará un quiz, que constará de 3 ejercicios breves para que los estudiantes repasen los temas vistos en la semana.

Calificaciones

Algunos ejercicios del examen saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas. Haremos 4 exámenes parciales (con 4 preguntas cada uno) en las siguientes fechas, salvo causas de fuerza mayor:

Sábado 27 de marzo: Curvas (Tema 1 del temario oficial)

Sábado 01 de mayo: Geometría diferencial de superficies (Temas 2.1 y 2.2 del temario oficial)

Sábado 29 de mayo: Geometría de la primera y segunda formas fundamentales (Temas 2.3, 3.1, 3.2 del temario oficial)

Sábado 26 de junio: Geometría intrínseca, derivada covariante, geodésicas; ecuaciones de Gauss-Codazzi (Temas 3.4 y 3.3 del temario oficial)

El día que nos toque la segunda vuelta se presentará a lo más una reposición o el examen final. Los ejercicios de las reposiciones y el examen final NO saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas.

La dinámica para todos los quizzes y exámenes parciales, reposiciones y final será la siguiente:

· En Google Classroom se publicará el quiz o examen, según corresponda. Los días que haya examen no habrá quiz.

· El quiz se publicará a las 19:00 y los estudiantes entregarán sus respuestas a más tardar a las 22:00 del mismo día.

· El examen se publicará a las 12:00 (mediodía) y los estudiantes entregarán sus respuestas a más tardar a las 24:00 del mismo día.

· En ambos casos, los estudiantes deberán subir a Classroom un archivo de respuestas en formato PDF, nombrándolo como en los siguientes ejemplos:

apellidos_nombres_Q1.pdf (para el quiz 1)

apellidos_nombres_E2.pdf (para el parcial 2)

apellidos_nombres_R3.pdf (para la reposición del parcial 3)

apellidos_nombres_F.pdf (para el examen final)

· Los estudiantes deberán asegurarse que el quiz/examen sea legible. Los quizzes/exámenes ilegibles o entregados posteriormente a la hora límite no serán tomados en cuenta, sin excepciones. Se sugiere que suban sus exámenes media hora antes de la hora límite, para evitar complicaciones.

La calificación final será el máximo entre:

(1) El promedio de calificaciones de los exámenes parciales.

(2) El promedio de calificaciones de los exámenes parciales contando la reposición.

No es obligatorio presentar los quizzes, pero el total de las calificaciones de los quizzes contará a lo más como un punto extra en la calificación final para los casos (1) y (2).

(3) la calificación del examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0.

Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Para cualquier duda y asesoría, estaremos disponibles vía Classroom o por correo electrónico.

¡Nos veremos!

Oscar Palmas

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias

oscar.palmas@ciencias.unam.mx

Bibliografía

Do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces in R3 , 1976.

O’Neill, B., Semi-riemannian Geometry with Applications to Relativity, 1983.

Palmas, Reyes, Curso de Geometría Diferencial, publicado en dos volúmenes, 2005-2006.