Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I

Requisitos: Cálculo Diferencial e Integral I-IV, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I y Álgebra lineal I.

Temario:

I. Ecuaciones de primer orden.

• Dinámica de Tráfico.
• Existencia local (método de características para ecuaciones lineales, cuasilineales y completamente no-lineales).
• Estimaciones a priori.
• Leyes de conservación escalares (soluciones débiles, condiciones de salto y criterio de entropía).

II. Elementos de Análisis.

• Notación de multi-índices.
• Convolución y regularizadores.
• Transformada de Fourier.

III. Ecuación de onda.

• Ecuación de onda en una dimensión espacial (cuerda vibrante , separación de variables, fórmula de D'Alambert, principio de Duhamel e identidad de Green-Lagrange).
• Ecuación de onda en varias dimensiones espaciales (Método de promedios esféricos, fórmula de Kirchhoff y principio de Huygens, principio del descenso de Hadamard, fórmula de Poisson, principio de Duhamel y unicidad por el método de energía).
• Estimaciones de energía.

IV. Ecuaciones de Laplace y Poisson.

• Funciones armónicas (propiedad del promedio, principios del máximo, solución fundamental, desigualdad de Harnack, regularidad y teorema de Weyl).
• Función de Green (Representación de Green, funciones de Green para el semi-espacio y la bola).
• Unicidad de problemas no acotados.
• Separación de variables.
• Ecuación biarmónica (*).
• Teorema de descomposición de Helmholtz (*).

V. Ecuación de calor.

• Problema de Cauchy (solución fundamental, regularidad, no unicidad, y principio del máximo global).
• Problemas con valores iniciales y de frontera (separación de variables, principios del máximo).
• Estimaciones a priori.

Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Evans. Partial Differential Equations.
• Folland. Introduction to Partial Differential Equations.
• Han. A Basic Course in Partial Differential Equations.
• Han, Lin. Elliptic Partial Differential Equations.
• John. Partial Differential Equations.
• Lax. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves.
• Pinchover, Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations.
• Pinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Applications.
• Prasad, Ravindran. Partial Differential Equations.
• Salsa. Partial Differential Equations in Action.
• Strauss. Partial Differential Equations.
• Vasy. Partial Differential Equations.
• Zauderer. Partial Differential Equations.

Evaluación:

• El curso se evaluará mediante tareas semanales que valdrán un 60% de la calificación final, un examen parcial que valdrá 20% de la calificación final y un examen final que valdrá el restante 20% de la calificación.
• Cada semana el alumno recibirá entre 3 y 4 horas de video-lecciones y tendrá que asistir a una reunión semanal por google meet donde el profesor resolverá dudas y una ayudantía. Éstas se llevarán a cabo en las horas de la clase.
• Las tareas se entregan en Latex.
• Durante la semana del 22 de enero aparecerá un link donde se presentará el curso y se darán indicaciones para la primera reunión.

Links de la presentación del curso:

https://youtu.be/Lh561hd9C64

https://youtu.be/PGh2Of9stRg

Link para reunión el lunes 01/03/2021 a las 1600hrs: