Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

Las clases

• Las clases en linea serán por la plataforma de google classroom:
• El código de la clase es: https://classroom.google.com/c/MjgyNzYwOTM2NDM1?cjc=flcuxiq
• Las clases se ajustarán al calendario escolar autorizado: inicio y final, días de asueto, periodo de exámenes y vacaciones.
• La clase virtual se ajustará al horario preestablecido por la facultad.

Evaluación:

• En el transcurso del curso se dejarán una o varias tareas por cada tema visto (10 puntos cada una) y se harán exámenes de control (20 puntos cada uno) los cuales se ajustarán al horario de la clase. También se considerarán exámenes tarea (15 puntos) y trabajos temáticos. Cualquier trabajo a evaluar, examen o tarea examen o trabajo temático, entregado fuera de tiempo se considerará y evaluará como si fuera tarea (sobre 10 puntos).
• Para los puntajes del material entregado se tomarán en cuenta orden, limpieza y completéz. La puntualidad también es considerada. Además se le dará mayor peso a cada trabajo según avance el tema.
• La calificación final será = ( la suma total de los puntos obtenidos / los puntos posibles ) x 10

Esquema general del contenido del curso

En el curso haremos un análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales no lineales.

• Empezaremos revisando el material de sistemas lineales y algunos de sus teoremas mas relevantes (sección 1 del temario).

• Posteriormente revisaremos el problema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales en el espacio, asi como sus perturbaciones y analizaremos los teoremas de existencia y unicidad de soluciones y su dependencia de condiciones iniciales y parámetros (secciones 2).

• Por último se aplicará lo anterior al análisis cualitativo de soluciones de sistemas no lineales en el espacio: estabilidad de soluciones (sección 3) y clasificación local de ecuaciones y sus soluciones (secciones 3,4,...).

Temario preliminar:

1. Repaso de sistemas lineales en el espacio. Teoremas de existencia y unicidad y analisis cualitativo.

2. Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de la forma dx/dt=f(t,x), y sus variantes

• • Dependencia de soluciones respecto a condiciones iniciales y parámetros

  • Flujo local de la ecuación dx/dt=f(t,x), ecuación de 1a variación a lo largo de una solución y calculo de la parte lineal respecto a la condición inicial del flujo de la ecuación.

  • Teoremas de extensión de soluciones y soluciones maximales de una ecuación diferencial

3. Análisis cualitativo local de soluciones puntos regulares y singulares no degenerados:

• • Estabilidad de soluciones: estabilidad orbital, estabilidad asintótica orbital; estabilidad de Lyapunov y estabilidad asintótica de Lyapunov.

  • Clasificación local de soluciones en una vecindad de un punto regular de f. Teorema de rectificación.

  • Clasificación local de soluciones estacionarias estables en una vecindad de un punto singular de f no degenerado.

3. .....

4. Estabilidad de soluciones periódicas.

• • Teoría de Floquet de sistemas lineales con coeficientes periódicos , Monodromía, exponentes y multiplicadores de la ecuación al periodo w.

  • Aplicaciones al análisis de órbitas periódicas de sistemas en el espacio. Transformación de Monodromía y de Poincaré a lo largo de una solución periódica.

  • Estabilidad de soluciones periódicas de sistemas en el espacio.

4. Teorema de la variedad estable e inestable

5. Teorema de Lyapunov-Andronov-Witt

6. Teorema de Grobman-Hartman

1. [Ar1] * Arnold, V.I.; Ordinary Differential Equations, 3rd ed. Springer-Verlag, 1991.
2. [Ar2] Arnold, V.I.; Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1988.
3. [B] Birkhoff,G. and G.C. Rota: Ordinary Differential equations, 3rd edition, John Wiley and Sons, 1978. QA372,B562.
4. [B-N] * Brauer, F.; Nohel,J.A.; The Qualitative theory of ordinary Differential Equations. W.A.Benjamin, New York, 1969. QA372, B823.
5. [B] Braun, M.; Differential equations and their applications, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1988.
6. [C-L] * Coddingyon, E.A.; Levinson, N.; Theory of Differential Equations, McGRAW-Hill, 1955. QA372, C63.
7. [D-G] Derrick, W., Grossman, S.; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Fondo Educativo Interamericano, 1984.
8. [Ha] Hale, J.; Ordinary Differential equations, Wiley-Interscience, 1969.
9. [Ha-K] Hale, J. and H.Kosak; Dynamycal Systems and Bifurcations, Springer Verlag, Texts in Applied Mathematics, 1991.
10. [Har] Hartman, Philip; Ordinary differential equations, Birhauser, 1982.
11. [H-L-S] * Hasser,N.B.; LaSalle,J.P.; Sullivan,J.A.; Analisis Matematico, Vol 2, Cap 11; Ed.Trillas, Mex 1977.
12. [Hi-S] Hirsh,M.,Smale, S.; Differential Equations, Dynamical Systems, and linear algebra. Academic press, New york, 1974.
13. [O] O' Malley,R.E; Singular perturbation methods for ordinary differential equations, Applied Math.Sci. #89, Springer-Verlag, 1991.
14. [PAL] Palis,J.; Welington de Melo; Geometric theory of Dynamical Systems. Springer-Verlag: New-York (1982)
15. [Pe] * Perko, L.; Differential equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991.
16. [Pon] Pontriaguin,L.C.; Ordinary differential equations, Addison-Wesley, 1962.