Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

ANÁLISIS MATEMÁTICO III.

El curso se impartirá usando la plataforma de Google Classroom, las sesiones de asesoría serán vía Meet y normalmente las hemos grabado bajo el acuerdo con todo el grupo y los participantes del curso.

I. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH.

II. PRINCIPIO DE LA COTA UNIFORME Y TEOREMA DE LA GRÁFICA CERRADA.

III. TOPOLOGÍAS DÉBILES. ESPACIOS REFLEXIVOS. ESPACIOS SEPARABLES. CONVEXIDAD UNIFORME.

IV. ESPACIOS L^P.

Evaluación.

Examen-tarea por cada sección. El promedio es la suma de todas las evaluaciones entre 4.

Esto es en términos generales no está absolutamente definido pues hay cosas que podemos acordar todos juntos.

¡Anímensen (sic)!

TEMARIO.

I. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH.

1. Forma analítica del Teorema de Hahn-Banach: Extensión de Funcionales lineales.

2. Formas geométricas del Teorema de Hahn-Banach: Separación de conjuntos convexos.

3. El Bidual de E^{**}. Relaciones de Ortogonalidad.

4. Una rápida introducción a la teoría de funciones convexas conjugadas.

II. PRINCIPIO DE LA COTA UNIFORME Y TEOREMA DE LA GRÁFICA CERRADA.

1. Teorema de Categoría de Baire.

2. Principio de la cota uniforme.

3. Teorema del mapeo abierto. Teorema de la gráfica cerrada.

4. Subespacios complementarios. Derecha e izquierda invertibilidad de operadores lineales.

5. Ortogonalidad.

6. Una introducción a Operadores lineales acotados. Definición del adjunto.

7. Una caracterización de operadores con rango cerrado. Una caracterización de operadores suprayectivos.

III. TOPOLOGÍAS DÉBILES. ESPACIOS REFLEXIVOS. ESPACIOS SEPARABLES. CONVEXIDAD UNIFORME.

1. La topología más gruesa que hace continuos a una colección de mapeos.

2. Definiciones y propiedades elementales de la topología débil

3. Topología débil. Conjuntos convexos, y operadores lineales.

4. Topología débil^*.

5. Espacios reflexivos.

6. Espacios separables.

7. Espacios uniformemente convexos.

IV. ESPACIOS L^P.

1. Definiciones y propiedades elementales de los espacios L^p.

2. Reflexividad. Separabilidad, dual de L^p.

3. Convolución y regularización.

4. Criterio de compacidad fuerte en L^p.

BIBLIOGRAFÍA

Brezis, H., Funtional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. New York, Springer, 2011.

Dieudonné, J., Fundamentos de Análisis Moderno. México: Editorial Reverté, 1976.

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Aplications. Canada. Wiley, 1978

Royden, H. L., Real Analysis. New York: Macmillan, 1988.

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3ra ed.). México: McGraw–Hill, 1980.