Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Optativas de los Niveles V y VI, Álgebra Moderna II

https://fmurphyhernandez.github.io/math/index.html

El enlace Google Classroom es:

https://classroom.google.com/c/Mjg0MjM0MzAwMjU5?cjc=mwjst3r

El lunes nos vemos por google meets en el vínculo:

https://meet.google.com/lookup/cbwhxhe2vm

Durante el curso tendremos las sesiones por Google meets.

Tanto Jaime como yo estaremos trabajando en notas que serán de acorde a la forma en como abordaremos los temas.

Temario

1. Teoría de anillos

• Generalidades de Anillos.
• Subestructuras: Subanillos e ideales.
• Morfismos de anillos y teoremas de isomorfismo.
• Dominios Euclidianos, de ideales principales y factorización única.
• Producto de anillos.

• Anillos de polinomios
• Ideales máximos y primos.
• El nilradical e ideales radicales.
• Radical de Jacobson
• Anillos de fracciones
• Anillos noetherianos y artinianos.

• Extensiones algebraicas y el Teorema de Kronecker
• Campos algebraicamente cerrados y construcción de Artin de la cerradura algebraica de un campo.
• Extensiones normales y campos de descomposición.
• Extensiones separables, campos perfectos y cerradura separable.
• Extensiones de Galois.
• Equivalencia entre extensiones de Galois finitas, extensiones normales y separables y campos de descomposición.

4. Teoría de Galois

• Teorema Fundamental de la teoría de Galois.
• Conexiones de Galois.
• Algunos ejemplos:
  Cálculos concretos.
  Extensiones ciclotómicas.
  Solubilidad por radicales.
  Problemas griegos clásicos
• Sobre el problema inverso de la teoría de Galois: Teorema de Hilbert y polinomios simétricos.

• Dominios de valuación discreta.
• Dominios de Dedekind
• El primer caso del último teorema de Fermat para primos regulares.
• Extensiones inseparables y puramente inseparables
• El grupo de Galois como grupo profinito

Bibliografía

• Artin E., "Galois Theory", University of Notre Dame Press, 1971.
• Atiyah, M. F., Macdonald, I. G., "Introduction to Commutative Algebra", Adisson-Wesley Publishing Company, 1906.
• Fraleigh, J., "A first course in abstrac algebra", Addison-Wesley, 1998.
• Neukirch J., "Algebraic Number Theory", Springer-Verlag Berlin, 1999.
• Weintraub, S., "Galois Theory", Springer Universitext, 2009.

Evaluación

Se entregará una tarea por tema y con esto se evaluará.