Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Forma de trabajar en línea:

Debido al COVID-19, las actividads son en línea y la forma de trabajar será asi: 3 clases por semana con el profesor y dos clases de ayudantia, usando la plataforma zoom. Las clases las subiré a youtube (videos grabados) y en las clases en zoom haremos transmisión de estos videos, durante los videos, haré observaciones, mencionaré ejemplos complementarios y el alumno podra preguntar sus dudas del tema del video, la participación del alumno es importante. Los videos estarán publicos en youtube para que el alumno los pueda consultar cuando guste, no es necesario que este presente en la clase, unicamente se les pide entregar las tareas y evaluaciones que se dejen a tiempo. Además ocuparemos:

1. Classroom para subir notas, tareas y libros de texto que se usen en las clases, aquí tambien subiremos notas de los videos en pdf del curso, además aquí encontrarás registro de los videos de las clases.

2. Grupo de WhatsApp y Telegram para estar en comunicación constante con el grupo y asi poder atender dudas de las clases ( no es necesario unirse a los grupos, basta con estar al pendiente del classroom para seguir las evaluaciones del curso, cualquier duda la contesto a mi correo personal pavelrm@yahoo,com.mx)

Canal de youtube donde estarán los videos: https://www.youtube.com/channel/UCocwYVcdTKlcZP2TohMV2LA

Evaluación:

La evaluación será con tareas examen, aproximadamente 4 o 5. La tareas se dejan con tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado y pueden ser en equipos o indiviual. Tu promedio final es el promedio de tus tareas examen. Ahora, el trabajo con el ayudante es de la siguiente manera: el ayudante dejará tareas a lo largo del curso, las cuales se entregan con el y al final si tienes todas correctas tendrás un punto extra a tu promedio final (o el equivalente a lo hayas entregado de estas tareas del ayudante) y estas tareas son opcionales.

Aquellos interesados en el curso mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx para darles el enlace al grupo de whtasapp y el classroom del curso, poner como asunto "Análisis II 2021-2".

Análisis Matemático II

La primera mitad del curso será dedicada a estudiar espacios de funciones como los son los espacios de funciones continuas C[a,b], C(K) con K compacto, el espacio de funciones acotadas B[a,b], espacio de funciones de variación acotada BV[a,b] etc... para esto estudiaremos primero la convergencia uniforme (convengencia en la norma del supremo) y probaremos teoremas importantes en estos espacios, además definiremos la integral de Riemann-Stieltjes probaremos sus principales propiedades y teoremas, como el teorema de integración por partes, además estudiaremos un poco el espacio dual de un espacio normado y probaremos un teorema de representación de Riesz.

La segunda mitad del curso esta dedicada a estudiar la integral de Lebesgue, los conceptos de sigma álgebra, medida, funcion medible etc.. probaremos teoremas importantes con respecto a convergencia con esta integral como el teorema de convergencia monotona y el teorema de convergencia dominada y varios mas, finalizamos viendo la relación de esta integral con la integral de Riemann usual.

El curso aunque obligatorio para matemáticos, son bienvenidos estudiantes de actuaria y fisica que necesiten profundizar en los temas de espacios de funciones y teoría de la medida en R.

Temario.

Parte I: Espacios de funciones

1. Convergencia uniforme.
2. El teorema de Stone-Weiertrass.
3. Equicontinuidad
4. El teorema de Arzela- Ascoli.
5. integral de Riemann-Stieltjes.
6. El dual de un espacio normado (Discusión introductoria)
7. El teorema de representación de Riesz en C[a,b].

Parte II: Integral de Lebesgue en R.

1. Sigmas álgebras
2. Medidas
3. funciones medibles
4. la integral de Lebesgue y sus propiedades
5. El teorema de la convergencia monotona
6. El teorema de la convergencia dominada
7. La relación de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.
8. Espacios L_{p}.

Requisitos: Un buen curso de Análisis Matemático I, manejo de los conceptos de convergencia, continuidad y topologia en espacios métricos, ganas de hacer cuentas y desigualdades.

Bibliografia: Carothers, Real Analysis. Apostol, Análisis Matemático, Folland G. Real Analysis. Bartle, Elements of integration, D. L Cohn Measure theory.