Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Temario de Ecuaciones diferenciales I

Por las circunstancias actuales la clase se dará en línea todos los días. La exposición es en pizarrón y eventualmente podría usarse la escritura en tableta como apoyo.

Enlace al curso.

Se pide llegar puntualmente o, de preferencia, con una ligera antelación; así, podremos aprovechar la hora completa y podremos llevar un paso adecuado, en el que haya lugar suficiente a comentarios y preguntas relativas al material que veamos. Favor de no compartir con personas ajenas al curso.

El curso hará un énfasis especial en la geometría subyacente a los campos vectoriales y a las ecuaciones diferenciales.

Los puntos a tratar en el curso son básicamente los siguientes:

1. Noción de campo vectorial en el plano y en el espacio.
2. Retrato de fase y retrato de fase extendido.
3. Ecuación diferencial asociada a un campo de vectores y puntos singulares y regulares.
4. Solución de ecuaciones lineales en una variable.
5. Aplicaciones de la solución de una ecuación diferencial lineal.
6. Ecuaciones diferenciales lineales en varias variables.
7. Nociones básicas de álgebra lineal.
8. Solución de ecuaciones diferenciales lineales en varias variables en el caso de raíces reales del polinomio característico asociado a la matriz que define a la ecuación.
9. Complejificación del espacio vectorial y de la ecuación diferencial lineal en el caso de raíces complejas del polinomio característico.
10. Espacio vectorial de soluciones de una ecuación.
11. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Matriz fundamental de soluciones. Variación de parámetros.
12. Ecuaciones de segundo orden homogéneas, vistas como ecuaciones lineales de primer orden.
13. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas. Fenómeno de resonancia y aplicaciones a distintos fenómenos físicos.
14. Ecuaciones hamiltonianas y ecuaciones exactas.
15. Aplicaciones a biología y física. Modelo depredador-presa.
16. Teorema de existencia y unicidad.
17. Soluciones en serie. Ejemplos de ecuaciones clásicas que uno debe conocer.

No seguiremos un libro en específico por lo que se pide a los alumnos tener una asistencia constante. Daremos notas cada semana basadas en un texto que nos encontramos terminando de escribir actualmente.

Los siguientes libros podrían servir de apoyo, si bien no seguimos ninguno de ellos en específico.

Arnold V.I., “ Ordinary Differential Equations”, Springer Verlag.
Blanchard P., Devaney R., Hall G., “Ordinary Differential equations”.
Hirsh M., Smale S.,“Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra”.