Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Cálculo IV

Los cursos de cálculo III y cálculo IV son sólo las dos mitades de un curso de cálculo de varias variables- Continuaremos viendo este curso como una extensión de los conceptos del cálculo de una variable. Al aumentar el número de dimensiones tanto en el dominio como en el contradominio de las funciones aparecen una buena cantidad de aspectos nuevos a considerar. No se trata de cambiar una variable real por un vector simplemente, sino que los conceptos que se tenían en el cálculo de una variable se amplían y surgen cosas nuevas.

Juntar dos o más números para formar un vector crea un nuevo objeto que posee propiedades distintas de las que tienen los números reales, tan sólo sea desde el punto de vista algebraico. Las reglas cambian, pero incluyen a las anteriores. ¿Qué cosas nuevas aparecen cuando ampliamos los conceptos? En buena medida ése es el enfoque del curso. Esto presupone que los conceptos del cálculo de una variable deban ser bien comprendidos por los estudiantes.

La forma en que se irá desarrollando el curso será plantear en cada tema las problemáticas que dan lugar a los conceptos principales y dar discusiones en torno a eso. A partir de ahí formular correctamente los nuevos conceptos para que los estudiantes comprendan su esencia, la forma correcta de enunciarlos y las relaciones entre éstos, así como el lenguaje en que deben ser formulados.

No sólo se busca una comprensión a fondo de los conceptos, sino también el que los estudiantes sean capaces de desarrollar la habilidad de conectarlos con problemas prácticos y resolver problemas concretos. Se busca dar ejemplos de aplicaciones dentro de la propia matemática así como a la física u otras ramas de la ciencia.

También se trata de desarrollar la agilidad mental para saber operar con los métodos del cálculo, que los estudiantes tengan la habilidad de usarlos con soltura y, en otras materias que estén cursando, no se atoren porque no saben derivar o integrar.

Temario

1. Teoremas de la función implícita y de la función inversa- Método de los multiplicadores indeterminados para encontrar valores extremos de una función sujeta a restricciones-
2. ¿Cómo extender el concepto de integral para las funciones reales de varias variables?
   1. Medida de los conjuntos. Longitud, área, volumen, …Conjuntos Jordan-medibles
   2. Definición de la integral. Integral sobre rectángulos, integral sobre conjuntos medibles.
   3. Criterio de integrabilidad de Riemann. Integrabilidad y continuidad.
   4. Propiedades de la integral.
   5. Forma práctica de encontrar integrales, teorema de Fubinni
   6. Teorema de cambio de variable
   7. Integral impropia
   8. Aplicaciones
3. Otros tipos de integrales
   1. Integral de línea de funciones reales
   2. Integral de línea de funciones vectoriales
   3. Independencia de la trayectoria, campos conservativos y gradientes
   4. Aplicaciones a la física y la geometría
   5. Integral de superficie de funciones reales
   6. Integral de superficie de funciones vectoriales
   7. Integral de superficie sobre superficies cerradas
   8. Aplicaciones a la física y la geometría
4. Teoremas que relacionan operadores diferenciales con integrales
   1. Teorema de Green
   2. Teorema de Sokes
   3. Teorema de Gauss
   4. Formas diferenciales
5. Sucesiones y series de funciones

Dinámica del curso

En vista de que la idea es desarrollar una discusión de los conceptos y no sólo enunciarlos, la parte presencial del curso es el centro de la dinámica. Las clases se imparten en tiempo real y se busca que los alumnos participen lo más posible. No es fácil lograrlo incluso cuando estamos todos juntos físicamente y en línea es un poco más complicado pero el buscar recoger las ideas que surjan de un intercambio entre estudiantes y profesor es algo que intentaremos seguir. No siempre participan todos los alumnos pero el que escuchen y analicen las ideas de sus compañeros pensamos que es algo enriquecedor.

Sabemos que hay dificultades y que las condiciones de estudio que impone el cuidarnos entre nosotros en esta pandemia no son óptimas, pero trataremos de encontrar fórmulas de cómo combinar las clases síncronas con otros recursos. Al menos todas las clases serán grabadas para que quienes no puedan estar en las clases síncronas puedan ser incluidos. No se confíen en que como las clases serán grabadas, luego la veo, porque se pueden ir atrasando. Cuando se solicite por cualquier alumno se darán asesorías personales o por equipo.

El horario será de lunes a viernes de 4:00 pm a 6:00 pm. Tal vez algunos sábados necesitemos tener clase, vamos a ver cómo avanzamos.

Nos gustaría iniciar el curso recogiendo sugerencias y opiniones de los estudiantes basadas en las clases en línea del semestre anterior. Podemos aprender mucho de cómo resultaron los distintos enfoques y métodos.

Recursos técnicos

La plataforma que usaremos en el curso será Zoom.

Cita para la primera clase:

https://zoom.us/j/98572448733?pwd=VHFoMUd6QjJMc2k5alhEMjlWSGhGUT09)

Para la comunicación colectiva, classroom de Google:

https://classroom.google.com/c/Mjc3MDQ1NzkxNTE3?cjc=6mul3ww

Personalmente me siento cómodo con esa plataforma y creo muchos alumnos también. Usaremos software de visualización (como Geogebra) y videos ya disponibles para ilustrar y ayudarnos a comprender conceptos.

Evaluación

El trabajo en clase se complementa con el trabajo individual o por equipo a través de las tareas. Habrá exámenes individuales y tareas por equipo. Los exámenes cuentan un 70% de la calificación y las tareas 40% ¡No suma 100%! Quienes hagan bien sus tareas tendrán un incentivo para aumentar su calificación con esos porcentajes. Si sólo hacen exámenes a lo más que pueden aspirar es a 7 de calificación.

Sí creemos en las segundas oportunidades y que si alguien fracasa aprende de eso y cuando lo intente de nuevo es muy probable que mejore, por esto, hay reposiciones de los exámenes parciales, ¡y reposiciones de las reposiciones! Pero hasta ahí nada más, el tiempo no permite intentos indefinidos. La calificación de cada parcial será la mayor que se haya obtenido de los distintos intentos.

Las preguntas de las tareas y de los exámenes no tienen por objeto único la obtención de un número asociado al nombre de un alumno, sino que son oportunidades de aprendizaje y que tanto el alumno como el profesor midan el avance. Como el enfoque del curso es desarrollar habilidades para la comprensión de los conceptos, su uso ágil y la capacidad de resolver problemas usando esos conceptos, las tareas y los exámenes se califican revisando no sólo si llegaron o no al resultado correcto sino viendo qué es lo que hicieron y si hubo errores, señalando en qué se equivocaron.

En nuestro sistema de enseñanza se estudia para obtener una calificación, un certificado o un título y a eso se le da una importancia mayor que al aprendizaje, se estudia porque va a haber un examen. La obtención de un papel justifica para algunas personas el hacer trampa usando el trabajo y conocimiento de otros para beneficio propio. Es muy triste que a tan temprana edad algunas personas sigan ese camino. Quisiéramos dar una discusión sobre esto con los estudiantes para encontrar formas de resolver este problema ético. Pero lo fundamental será el aprendizaje y no perseguir copiones.

Estaremos trabajando juntos muchas horas a la semana durante todo un semestre. Nos interesa mucho la opinión de los estudiantes sobre cómo realizarlo para lograr los objetivos del curso en especial en las condiciones actuales que no podemos estar juntos físicamente.