Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Cálculo IV.

Presentación.

Saludos.

La dinámica de este curso (en estos tiempos de pandemia) es la siguiente:

Para abordar los contenidos de nuestro curso daremos clases en línea (videoconferencias) en el horario marcado en la página de la facultad (ver Nota 2), y a través de la plataforma Meet, mismas que se grabarán y se subirán a un espacio virtual creado en Google Classroom para quienes no hayan podido tomar la clase en línea o deseen consultarlas nuevamente. No será obligatorio tomar las clases en línea, pero sí se los sugiero.

Habriremos una sesión (asesoría) en línea fuera del horario de clases antes de cada examen parcial para que ahí también puedan plantear dudas sobre los contenidos de los temas y ejercicios de las tareas.

La primera sesión la iniciaremos en Classroom (y luego nos mudaremos a Meet) en donde daremos más detalles sobre el curso y aclararemos cualquier duda que tengan.

Nota 1:

Enlace a Google Classroom:

-https://classroom.google.com/c/Mjg0MDQ3ODMyMzM3?hl=es&cjc=ywlxnor

-De manera opcional pueden inscribirse con el código ywlxnor

Enlace a Meet (que usaremos el primer día de clases):

-https://meet.google.com/lookup/gnsnkym7yu

Nuestros correos se encuentran en la página de la facultad.

Nota 2: Las clases del profesor serán por lo regular Lunes, Miércoles y Viernes de 11 am a 1 pm y las ayudantías Martes y Jueves en el mismo horario.

Elementos para la evaluación del curso

1. Se aplicarán de 4 a 5 exámenes parciales en línea durante el curso.

Para quienes tengan problemas de conexión en el momento, buscaremos la forma de resolverlo, siempre pensando en la mejor manera de evaluar los aprendizajes.

2. En caso necesario, el alumno podrá presentar exámenes de reposición (uno por cada examen parcial) que se aplicarán en dos partes al final de éste.

3. El alumno podrá presentar un examen final para acreditar el curso.

4. El promedio de las calificaciones de los exámenes se hará tomando en cuenta la máxima calificación entre el examen parcial y la correspondiente reposición.

5. Con la finalidad de que el estudiante pueda reafirmar lo aprendido en el curso y le ayude a preparar sus exámenes parciales, se dejarán 5 tareas (una por cada examen parcial). Se intentará que cada tarea se entregue calificada a los estudiantes antes del correspondiente parcial. La entrega de las tareas por parte de los alumnos será opcional y de preferencia se entregarán en equipo. Para quienes las entreguen, habrá una bonificación máxima de 1.0 puntos en el promedio final y será proporcional al promedio de sus calificaciones de sus tareas. Para tener derecho a la bonificación, tendrán que entregar todas las tareas y obtener calificación mayor o igual que 5 en cada tarea.

Hay dos formas para la evaluación final del curso:

1. El promedio de las evaluaciones parciales (exámenes) más la bonificación obtenida por entrega de tareas (como se detalla arriba).
2. Presentar un examen final del curso. Existen dos modalidades: la primera es presentando todas las reposiciones y la segunda es en un solo día. Para los estudiantes que deseen presentarlo en un solo día, éste se aplicará en la primera semana de exámenes finales en la fecha y hora señalada por el departamento de matemáticas y tendrán que avisar con anticipación al profesor.

Escala de calificación final del curso

Rango Calificación

5.5 – 6.5 6

6.6 – 7.5 7

7.6 – 8.5 8

8.6 – 9.5 9

9.6 – 10 10

Con la intensión de apoyarlos en su trabajo a lo largo del curso, también abriremos un grupo de Whatsapp para mantener una comunicación rápida y un espacio en Google Classroom en donde se subirán y entregarán las tareas, así como los exámenes parciales; estos espacios también servirán para que los alumnos, a lo largo del curso, puedan plantear sus dudas, particularmente, sobre los contenidos.

A continuación, mostramos el temario que abordaremos en este curso:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV

El temario que presentaremos a continuación estará sujeto a algunas modificaciones. El primer día de clases daremos el temario definitivo del curso.

TEMARIO.

CAPITULO A. Diferenciación de funciones de Rn a R.

1. Diferenciación de una función.
2. Teorema del valor medio.
3. Máximos y mínimos de una función.
4. Máximos y mínimos con restricciones, Multiplicadores de Lagrange.

CAPÍTULO I. Integrales múltiples

1. Área de un conjunto plano.
2. Integral de una función de dos variables, como volumen debajo de una superficie y sumas de Riemann.
3. Propiedades de las integrales.
4. Conjuntos de medida cero.
5. Cálculo de integrales múltiples, teoremas de Fubini, integración sobre dominios más generales.
6. Integrales triples y cálculo de volúmenes.
7. Teorema del cambio de variables e integrales en polares, cilíndricas, esféricas.
8. Teorema del valor medio.
9. Centro de masa y momentos de inercia (opcional).
10. Integrales impropias.
11. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados.
12. Integrales sobre regiones no acotadas.

CAPÍTULO II. Integral de línea

1. Integración de funciones escalares sobre curvas paramétricas, independencia de la parametrización de la curva, integrales de trayectoria.
2. Integrales de línea en campos vectoriales, cálculo del trabajo debido a un campo de fuerzas.
3. Integrales de línea en campos del tipo gradiente y campos conservativos.
4. Teorema de Green, aplicaciones y ejemplos.

CAPÍTULO III. Integral de superficie

1. Definición y ejemplos de Sucesiones y subsucesiones.
2. Superficies parametrizadas, vector normal y plano tangente.
3. Integración sobre superficies parametrizadas y cálculo de áreas.
4. Independencia de la parametrización.
5. Integración de funciones escalares y vectoriales sobre superficies orientables.

CAPÍTULO IV. Teoremas integrales

1. Teorema de la divergencia en el plano, interpretación geométrica.
2. Ejemplos de integrales de línea, índice de un campo sobre una curva.
3. Teorema de Green.
4. Teorema de Stokes, rotacional, vorticidad.
5. Teorema de Gauss y Stokes en el espacio.
6. Flujos a través de una superficie (presión).
7. Identidades de Green.
8. Teorema de Stokes y aplicaciones.
9. Principio del máximo para la ecuación del calor.

CAPÍTULO V. Convergencia uniforme y series de potencias

1. Definición y ejemplos de convergencia uniforme en una variable, propiedades; convergencia uniforme de continuas en intervalos cerrados converge a continua, diferenciación término a término, la prueba M de Weierstrass, ejemplos de funciones continuas que en ningún punto son diferenciables, series de potencias, series de Taylor, intervalos de convergencia, derivación e integración término a término, ejemplos, series de Taylor de las funciones trascendentes.

CAPÍTULO VI. Optativo: Integral de Fourier

1. Propiedades, teorema de inversión, Lema de Riemann Lebesgues, Parseval, convolución.
2. Integral de Fresnel.
3. Ecuación de onda con transformada de Fourier.
4. Transformada de Laplace.
5. Desigualdad de Bessel, teoremas de convergencia uniforme.
6. La ecuación de calor y de onda.

Bibliografía.

1. Marsden, J. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson.
2. Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 2. Ed Reverté.
3. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis, Vol. 2. Ed. Limusa.
4. Bartle, Robert G. Introducción al análisis matemático. Ed. Limusa.
5. Sagan, Hans. Advanced Calculus.

Bibliografía complementaria.

1. Fulks, W. Cálculo Avanzado. México: Limusa-Wiley, 1970.
2. Spivak, M. Cálculo en Variedades. México: Ed. Reverté, 1987