Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Cálculo Diferencial e Integral IV

Profesor: Jefferson Edwin King Dávalos

calculoconjeff@gmail.com

Primera reunión: Lunes 1o de Marzo, 11:00 a.m.

Enlace a la reunión: https://meet.google.com/znk-dpzm-kru

El objeto principal de estudio del curso de Cálculo IV es la integral, en el sentido de Riemann, de funciones reales de varias variables (es decir, funciones f de ℝⁿ en ℝ ). En particular, si n=2, f está definida en un rectángulo A = [a,b]X[c,d] y es no negativa, la integral representa el volumen bajo la gráfica de f, de manera análoga al caso de una variable en el que la integral representa el área bajo la curva. El caso n = 2, cuyo contenido geométrico es tan “palpable”, será nuestro punto de partida. Posteriormente podremos generalizar, sin demasiada dificultad, a dimensiones mayores.

Así, una parte fundamental del curso es construir este concepto de integral -- en muchos aspectos semejante al caso de una variable, pero también con peculiaridades propias -- y proceder al estudio de sus propiedades centrales, especialmente a la problemática de caracterizar las funciones integrables; es decir, al análisis de las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable en un rectángulo.

Una vez realizado lo anterior habrá que encarar el problema de cómo calcular estas integrales. Afortunadamente, el curso de cálculo 2 ya nos proporcionó un arsenal de métodos de integración que nos serán de mucha utilidad. Aquí requeriremos de dos teoremas básicos: el de Fubini y el de Cambio de Variable, teorema especialmente importante (y complejo).

Con toda esta herramienta saltaremos a otra parte fundamental del curso: las nociones de integral de línea, de superficie y de volumen, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss. En mi opinión, la mejor forma de abordar esto es a través de nociones de Física, muy especialmente del concepto de trabajo y el de flujo de un fluido a través de una superficie. Veremos que, junto con la Física, hay un fuerte contenido geométrico e incluso topológico, por el tipo de objetos (curvas y superficies entre otros) donde vamos a andar integrando.

A estas dos partes fundamentales, constitutivas del curso, le agregaremos una tercera, que es la que veremos al principio. Se trata de dos teoremas

de diferenciabilidad que, como bien decía un profesor mío, son las superestrellas del Cálculo: El teorema de la función implícita y el de la función inversa. Aunque estos resultados se deberán ver con mayor detalle y profundidad en cursos más avanzados, aquí haremos su “presentación ante el público” buscando evidenciar su interesante sabor geométrico. Integrada con esta parte del curso haremos una breve introducción a la geometría diferencial de curvas en el espacio.

Por último, aquí y allá habremos de desarrollar nociones necesarias de topología de conjuntos y sus conexiones con la continuidad o la diferenciabilidad de funciones.

El material de Cálculo IV es muy abundante y, esperemos, lleno de aspectos novedosos aunque, como siempre ocurre en matemáticas, no exento de dificultades.

¡ Bienvenidos entonces, a Cálculo IV !

Y como ya es costumbre, en este curso se aceptan visitas inesperadas.

Bibliografía mínima:

• El libro del profesor Javier Páez, Cálculo Integral de varias variables, publicado por la facultad de Ciencias, 2012.

• El libro de Apostol, Calculus, Volumen 2, Ed. Reverté, 1980.

• El libro de Marsden y Tromba, Cálculo Vectorial, Pearson Educación, 1998.

• El libro de Spivak, Cálculo en Variedades, Ed Reverté, 1979.

La manera de trabajar

Como siempre, el énfasis se basará en las ideas intuitivas y geométricas de todo el material que se cubra, pero habrá que lograr, también, un buen nivel de formalización.

• Para organizar los materiales de clase utilizaremos la plataforma de Google Classroom. Para ello se requiere que cada alumno tenga activa y en funcionamiento su cuenta de correo @ciencias. El enlace de invitación al Classroom se les enviará vía correo electrónico el día 2 de marzo a los inscritos y a quienes escriban un correo a calculoconjeff@gmail.com.

• Las clases por videoconferencia (por medio de Google Meet) serán 4 días a la semana: lunes, martes, jueves y viernes.

• Los miércoles en principio no habrá clase, sino que será un tiempo para que puedan estudiar individualmente, con sus equipos de trabajo o consultar sus dudas con los ayudantes.

• Las clases se grabarán y se compartirán las notas de clase al terminar cada sesión.

• Las dudas se podrán consultar en el classroom, en el correo calculoconjeff@gmail.com, o en el correo de los ayudantes (¡con toda confianza!).

• Sistemáticamente se dejarán listas de problemas que no serán obligatorias. Sin embargo, entregar resueltos (por equipo) los problemas de la mayoría de estas listas y obtener en promedio una calificación ≥ 8 contribuirá a mejorar la calificación final.

La evaluación estará compuesta de dos partes:

• Exámenes individuales.

• Trabajo en equipo.

El peso (%) que tendrán por un lado los exámenes individuales y, por otro, los que son en equipo, así como el número de integrantes por equipo se fijará el lunes 1o de marzo en clase. Así mismo, se discutirá la propuesta de llevar a cabo talleres los sábados.

En caso de que haya alumnos que estén interesados y no alcancen inscripción en línea por cuestiones de cupo, habrá una lista adicional donde podrán apuntarse en lo que se resuelve esta cuestión.