Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

Álgebra Lineal II

Profesoras: Natalia Mantilla (titular) y Ehécatl Montes (ayudante)

Presentación

El segundo curso de álgebra lineal retoma el estudio de los operadores lineales y nos brinda herramientas para
entender cómo actúan sobre su dominio. Algunos de ellos (cuyas matrices son diagonalizables) se asocian a una
colección de espacios propios que bastan para describir su acción sobre todo el espacio, pero otros no tienen matrices
diagonalizables. En algunos casos, esto ocurre porque todos o algunos de sus valores propios no están en el campo
donde el espacio vectorial toma escalares; en otros, porque ningún conjunto de vectores propios completa una base
del espacio vectorial. Esto nos lleva a hablar de las formas canónicas.

Otro tema muy importante que abordamos en este curso es el estudio de espacios vectoriales reales o complejos
(es decir, para los cuales F = R o F = C) de producto interior. El producto interior nos permite hablar de
ángulos, normas y distancias. También nos permite usar bases formadas por vectores ortogonales entre sı́, que
facilitan enormemente la determinación de las coordenadas de cualquier vector en términos de la base, y nos lleva a
preguntarnos cuándo podemos diagonalizar un operador lineal usando una base ortonormal del espacio.
Aprovechando todo el conocimiento que ya tenemos de transformaciones lineales, hablamos también de funciones
(“formas”) bilineales y cuadráticas. Estas últimas nos dan la base para demostrar el criterio de la segunda derivada
para la determinación de máximos y mı́nimos de funciones de varias variables reales que toman valores reales que se
enuncia en Cálculo III.

Este curso aborda todos estos temas, tı́picamente en el orden que se especifica en el temario siguiente. (Los temas
marcados con un asterisco se ven dependiendo del tiempo del que dispongamos).

Temario

1. Diagonalización y diagonalizabilidad
(a) Valores y vectores propios, polinomio caracterı́stico
(b) Diagonalizabilidad
(c) Subespacios invariantes y teorema de Cayley-Hamilton
(d) Polinomio mı́nimo
2. Formas canónicas
(a) Forma canónica de Jordan; vector y espacio propio generalizado
(b) *Forma canónica racional
3. Espacio dual
4. Espacios de producto interior
(a) Producto interior y norma
(b) Proceso de Gram-Schmidt
(c) Operador adjunto
(d) Operadores normales y autoadjuntos
(e) Operadores ortogonales y unitarios
(f) Proyecciones ortogonales y Teorema Espectral
(g) *Descomposición de valor singular y pseudoinverso
(h) Formas bilineales y cuadráticas

Método de enseñanza y evaluación

El curso se impartirá usando una combinación de clases, ayudantı́as, asesorı́as presenciales y videos cortos pregraba-
dos. La plataforma que utilizaremos es Classroom, y las clases se grabarán para después subirse a la página del
curso, donde también iremos subiendo los videos pregrabados que hagamos y las notas del curso. Las asesorı́as serán
sesiones recurrentes, con duración de 20 minutos, en grupos pequeños de alumnos. Una de las funciones que tendrán
es permitir que los estudiantes se conozcan más de cerca y trabajen juntos. Otra será que Ehécatl y Natalia los
conozcamos mejor y podamos resolver sus dudas “en corto”.

Al final de cada semana se entregará una lista de ejercicios, de las cuales una parte se entrega en forma de tarea
una semana después. También de esas listas podrán elegirse problemas para exposición, ya sea en forma individual
o en equipos de dos. Antes de la exposición se deberá entregar su respuesta al ejercicio en el formato que deseen
(pdf, foto...) y la participación (sensata y amable) del grupo en estas exposiciones será tomada en cuenta para la
calificación. Se aplicarán exámenes cortos aproximadamente cada dos semanas en el horario de una ayudantı́a.

Evaluación

Tomando en consideración las particularidades del aprendizaje en lı́nea, daremos los siguientes pesos a cada uno de
los componentes mencionados arriba:

ˆ Tareas: 40%
ˆ Exámenes: 40%
ˆ Exposiciones: 20%
ˆ Participación: 10% (otorga hasta 1 punto extra)

Las tareas pueden resolverse en equipo, pero deben entregarse en forma individual en la fecha y horario indicados.
Cada dı́a de atraso ocasiona la disminución de un punto en la máxima calificación sobre la que se evalúa la tarea.
Para los exámenes no hay tolerancia en la fecha de entrega y se resuelven y entregan individualmente.

Al terminar las evaluaciones parciales habrá aún un examen de convalidación. Éste es un examen sencillo, orientado
a averiguar si se tienen los conocimientos fundamentales del curso. Los alumnos que no obtengan una calificación
aprobatoria (6 o más) deberán presentar el examen final si desean aprobar el curso, y éste será el que determine su
calificación. Quienes obtengan más de 6 tendrán, por cada punto completo por encima del 6 que tengan, una décima
adicional sobre su promedio de los parciales. Ası́, un promedio de 8.4 sube a 8.6 si se obtuvo 8 en el examen de
convalidación.

Todas las calificaciones inferiores al 6 son reprobatorias. Las calificaciones aprobatorias se redondean al entero
inmediato superior si tienen más de 5 décimas por encima del entero correspondiente (por ejemplo, 8.9 u 8.500001
sube a 9; 8.5, no). En la segunda vuelta de exámenes finales se puede presentar un examen final. Cuando se presenta
examen final es él solo el que da la calificación del semestre.

La primera clase del semestre será el 1 de marzo a las 17hs aquí.