Matemáticas (plan 1983) 2021-2

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

1.- La presentación que aparece a continuación, tiene una amplia intersección con la del curso de cálculo I del semestre anterior (básicamente, los capítulos I, IV y VI provienen de ella, con algunas modificaciones). Aunque sé que es larga, les pido a los interesados en llevar el curso que la lean completa: creo que eso les dará una buena idea de él, les permitirá tomar la decisión de si inscribirse o no con mayor conciencia y lo más importante, les permitirá entrar en sincronía con todos nosotros en el trabajo que habremos de desarrollar a lo largo del semestre, que aunque será intenso, procuraremos que realmente les entusiasme.

2.- Asimismo, les solicito –tanto a los que piensan inscribirse formalmente, como a los que quisieran tan solo entrar a las clases o estar en contacto con todo el trabajo que se desarrolla en él– que llenen una encuesta inicial para hacernos una idea de la composición del grupo (y de las necesidades de equipo que pudieran tener para ver la forma de resolverlo).

3.-Todos los alumnos interesados en llevar el curso serán aceptados. Háganme saber si hay quienes quieren quedar inscritos oficialmente y no pudieron hacerlo en los días previos, para ampliar el cupo del grupo. Tan solo les pido que lean la presentación antes, para que estén seguros y no haya que ampliarlo y luego reducirlo de nuevo.

4.- Para llenar la encuesta, por favor ingresen al Classroom, con el siguiente código: prwtu7v

5.- Así que… todo listo... ¡comenzamos! Nos vemos el lunes 1º de marzo a las 11:00 am en punto.

La liga de acceso a la clase es: https://cuaed-unam.zoom.us/j/97706481527

Presentación del curso de Cálculo II

Contenido:

I. Introducción.

II. El esquema general de funcionamiento del curso.

(A) El funcionamiento del curso de Cálculo I el semestre anterior.

(B) El curso de Cálculo II este semestre.

III. La evaluación.

IV.- Orientación del curso.

V.- Temario del curso.

VI.- Bibliografía.

VII.- ¿A quiénes podría recomendarles que llevaran el curso y a quiénes no se los recomendaría?

VIII. Y por último…

Nota aclaratoria pertinente: Si solo te interesa ver cómo va a funcionar el curso, puedes saltarte la Introducción y el capítulo IV e ir directamente a los demás capítulos.

I. Introducción

1. Primero que todo, sean bienvenidos todos los interesados en llevar nuestro curso. Con pandemia y sin pandemia, he abierto las puertas a todos los estudiantes que desean inscribirse en él, sin más condición que su interés en estudiar el cálculo y su disposición a entrarle a todo el trabajo que implica aprenderlo a un buen nivel, según mi modesta opinión al respecto.

2. Hay cosas que podrán cambiar con la pandemia; pero hay otras que no, por lo menos en lo que a este curso se refiere. No comparto la idea de disminuir el número de horas de clases presenciales necesarias para aprender bien la materia (así sea por internet) ni “rebajar” las evaluaciones. Pienso que la universidad hace un daño mayor a sus estudiantes si abarata la educación que reciben (la cual está obligada a impartirles por lo demás). La educación pública en general, y la que imparte la UNAM en particular, además de ser absolutamente gratuita, debe ser una educación que garantice una sólida formación de sus estudiantes; y que desarrolle en ellos una capacidad y un hábito de trabajo regular y sistemático. Esto es algo que hemos defendido durante décadas –tengo más de 47 años como profesor de nuestra facultad– y la pandemia no afloja nuestra convicción, más bien la refuerza.

3. No comparto las teorías que provienen de las experiencias de “educación a distancia” previas a la pandemia, y que se han expuesto en diferentes foros, según las cuales “un curso a distancia debe alejarse de la idea de un curso presencial impartido en línea”, “los profesores deben reducir al máximo el tiempo de clases sincrónicas, más bien deben grabar algunos videos breves y dejar trabajos para que los resuelvan los estudiantes”. Lamento mucho que diversas instancias de gobierno de nuestra facultad se hayan adherido a estas teorías, particularmente pensando en los estudiantes de los primeros semestres.

4. La educación a distancia anterior a la pandemia era una opción pensada para estudiantes que no podían asistir regularmente a una clase, sino ir aprendiendo los contenidos conforme fueran pudiendo hacerlo. Existen distintos proyectos de universidad a distancia en el país. Conozco personalmente a varios profesores que trabajan o han trabajado como tutores en algunos de estos proyectos. Y hay un punto en el que todos coinciden: el nivel de preparación que adquieren los alumnos en dichos proyectos, por lo menos en el área de matemáticas, es incomparable en muchos aspectos –por decir lo menos de sus propias expresiones– al que reciben los estudiantes inscritos en el sistema tradicional. Varios de ellos han llegado a comentar que difícilmente un egresado de dichos cursos aprobaría las materias de los cursos presenciales –con excepciones, como siempre. Loable el propósito de estos proyectos de buscar una alternativa para los muchachos que no pueden acudir a clases ni seguir el ritmo de una universidad “presencial”; pero cuestionable el resultado de lo que realmente se ofrece. Esto no tiene que ver con los propios profesores que allí laboran –mucho menos con sus estudiantes–, sino con el proyecto mismo, que desde hace más de tres años se ha estado rediscutiendo a la luz de estos resultados.

5. La elaboración de videos previos a las clases condensando lo básico del material que los alumnos deben aprender, viene a ser como elaborar notas de clase con una cámara y un micrófono presentes. Eso está muy bien. Mejor aún si se elaboran libros bien trabajados que expliquen con amplitud los temas correspondientes (mismos que pueden reelaborarse con exposiciones con imagen y voz –lo que para algunos alumnos puede ser preferible, y para otros no–). Pero la universidad no puede reducir su proyecto educativo a entregar a sus alumnos los materiales que deben aprender, abrir algunas sesiones de aclaración de dudas, dejarles trabajos y proceder a evaluarlos (por lo demás, sin tener mayor cuidado en constatar responsablemente si quien elaboró los trabajos fue realmente quien recibe la calificación correspondiente). Eso es casi como plantear que la universidad es un proyecto educativo solo para los estudiantes autodidactas .

6. No está mal que los estudiantes autodidactas puedan recibir el reconocimiento correspondiente por la universidad (siempre y cuando, repito, sea muy estricta la institución en constatar con profesionalismo que en realidad adquirieron una formación comparable con la que exige a sus estudiantes en general). El detalle es que estamos hablando de menos del 1% de los estudiantes. Reducir (la UNAM) su responsabilidad docente a hacer eso –sin pandemia y con pandemia–, significa en la práctica desentenderse de la formación profesional en serio de prácticamente todos sus estudiantes; lo cual solo puede sostenerse si se flexibilizan las calificaciones sensiblemente –pues de otra forma, el número de reprobados sería enorme. Y ahí tenemos entonces la combinación perfecta del fraude educativo: yo me desentiendo de tu formación, tú puedes obtener mi reconocimiento sabiendo lo básico –o bien presentando los trabajos o exámenes que te pida, sin yo tener elementos acerca de si fuiste tú realmente quien los hizo o los respondió.

7. Al revés de lo que se plantea como recomendación, pienso que debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por lograr que los cursos en esta situación de aislamiento impuesto por la pandemia sean lo más parecido posible a los cursos presenciales. Nada sustituye el contacto humano, el ambiente de discusión y de compañerismo que puede crearse cuando todos compartimos un mismo espacio, el aprendizaje de los otros, la información que ofrece al profesor el observar las reacciones de sus alumnos a sus preguntas o sus explicaciones, el entusiasmo que puede transmitir en su materia teniéndolos delante a ellos y no a una pantalla de computadora. Pero por ahora eso no es posible, y debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por rescatar hasta donde podamos todos esos rasgos de la educación presencial –incluyendo la interacción entre los propios estudiantes.

8. Me parece que nuestros cursos en esta situación deben ser más bien concebidos como “cursos presenciales en línea” dirigidos a estudiantes inscritos en la materia que acuden a clase en el horario respectivo, no como “educación a distancia” para estudiantes que no pueden llevar clases en horarios bien definidos, constantes y cotidianos (aunque a ellos mismos puede servirles lo que se propone). Esto presupone mucho más trabajo por parte del profesor para poder lograrlo –o acercarse un poco a ello–, pero esa es en mi opinión nuestra responsabilidad. Particularmente, de los profesores de tiempo completo.

9. Debo decir que ya a estas alturas, lo que estoy planteando no es lo que “me imagino” debería ser. Desde la semana misma en que se suspendieron las clases presenciales en la Facultad (tercera semana de marzo), empezamos a dar las clases en línea (entonces, Cálculo IV). Y el semestre pasado dimos íntegramente nuestro curso de Cálculo I, apegándonos a esta idea. Y la clase se sostuvo todos los días de lunes a sábado, dos horas diarias (los sábados a veces más). Los videos completos, las notas que se iban escribiendo en clase y los chats que registraban las preguntas, ideas y comentarios escritos de los alumnos se subieron diariamente también.

10. Mi balance, después de comentar con los muchachos y con no pocos profesores, es inequívoco: clases, interactuar todos los días con los alumnos, discusión con ellos de los contenidos, tratar de que sean parte del redescubrimiento y construcción de los conceptos, los resultados, los ejemplos y los contraejemplos, los argumentos y las pruebas; clases, debate, discusión de ideas, no solamente conferencias a distancia sobre “líneas generales” de la materia. La debilidad en mi caso estriba en mi falta de experiencia para lograr la misma participación de los alumnos en la discusión por estos medios, pero hay que trabajar en ello, pues si logramos irlo resolviendo, se podría abrir una alternativa más allá de la pandemia para decenas de miles de muchachos que año con año son rechazados, pero que sí quieren y pueden asistir regularmente a sus clases, trabajar en sus materias, discutir con el profesor y sus compañeros, hacer todo igual que como si hubieran sido aceptados, recibiendo una educación de un nivel comparable (aunque perdiéndose, no hay duda, de muchos otros elementos esenciales en su formación como ser humano que aporta la convivencia cotidiana que se vive en las universidades). Eso, en el proceso mismo en que se lucha porque las universidades públicas de una vez por todas amplíen sus matrículas, sus instalaciones y su planta docente para recibir a todos los jóvenes que tocan a sus puertas; el país genera recursos suficientes para eso y más, el detalle es que haya la disposición de tomar medidas para que se distribuyan como debe ser.

11. Desde luego todo esto presupone que los estudiantes tienen posibilidades de acceder a los cursos digitalmente (básicamente, requieren de preferencia una tableta –si es posible con lápiz electrónico– o una computadora o por lo menos un celular adecuado, y una red de internet conveniente en el domicilio en que toman la clase). Según las estadísticas que han presentado las autoridades de la facultad, este es el caso de la gran mayoría de nuestros alumnos. Y, según se ha informado oficialmente, se han tomado medidas para garantizar que quienes no tienen esos recursos básicos puedan contar con ellos. Lo primero que haremos en nuestro curso es un censo, para saber cuál es la situación de nuestros alumnos a este respecto. Y entre todos buscar soluciones para los que no cuenten con los recursos indispensables.

II. El esquema general de funcionamiento del curso

Lo planteado en la introducción permite entender entonces la línea general con la que funcionaremos. Para los estudiantes que están decidiendo qué curso llevar, creo que puede serles de utilidad comenzar por narrar brevemente cómo trabajamos el semestre anterior, y a continuación describir el plan de este curso de Cálculo II.

(A) El funcionamiento del curso de cálculo I el semestre anterior

Cada vez que concluyo el ciclo de cursos de Cálculo I, II, III y IV, invito a quienes llegaron hasta el final a que participen como asesores voluntarios de la nueva generación. En las condiciones de los cursos presenciales-en línea, esa labor ha sido especialmente importante, dado el aislamiento impuesto por la pandemia. Si en general la adaptación de los estudiantes al estudio de la matemática como ciencia –los dos primeros semestres de su carrera–, resulta muy difícil (particularmente en el caso del cálculo), en estas condiciones resulta más difícil aún. Por eso se requiere buscar muchas formas de acompañar a los muchachos que inician sus estudios en la facultad en este proceso.

El semestre pasado participaron en el curso de Cálculo I el profesor, 4 ayudantes y 31 asesores que habían cursado conmigo los cálculos. 36 compañeros: ese fue el equipo que estuvo a cargo del curso.

Los alumnos formaron equipos de trabajo para discutir y resolver los problemarios (tareas), y cada equipo tuvo asignado uno o varios asesores. Los asesores se reunían con su equipo en promedio una vez a la semana –algunos más, otros menos–, para ver con ellos todas sus dudas e inquietudes. En la mayoría de los casos, creo que se desarrolló una relación espléndida entre ellos.

Y se echaron a andar varias actividades en paralelo:

(a) Un taller semanal para aprender a hacer demostraciones matemáticas.

(b) Un club de Lectura quincenal sobre el libro “Un acercamiento a los fundamentos del cálculo”.

(c) Una reunión de trabajo semanal con los estudiantes a los que les cuesta más trabajo avanzar.

(d) Horarios de asesoría individualizada (para quienes la requiriesen) todos los días de la semana, sábados en la noche incluidos.

(e) Un correo electrónico (salvavidascalculo@gmail.com) para quienes requiriesen un apoyo especial individual.

(f) Una sesión especial de solución de problemas en los días previos a los exámenes.

(g) Una sesión especial de discusión del “examen cáliz” que les suelo entregar a los alumnos antes de cada examen parcial (cuatro a lo largo del semestre en esa ocasión).

(h) Una reunión unos días después de cada examen parcial con los representantes de equipos para recoger sus observaciones, críticas y sugerencias de cómo mejorar las cosas.

No está de más mencionar que todas estas actividades extra-clase fueron absolutamente voluntarias. Y sin embargo, hubo alrededor de 90 alumnos que participaron en unas u otras en función de sus intereses y necesidades (de un total de 118 inscritos) .

Durante todo el semestre mantuvimos una reunión de trabajo semanal todo el equipo de trabajo: profesor, ayudantes y asesores. En esa reunión se pasaba revista de la situación de cada equipo (casi podría decir de cada alumno) por parte de los asesores. Se coordinaba cada una de las actividades complementarias mencionadas más arriba (taller, club de lectura, etc.), revisando cómo salió la sesión previa y proponiendo alternativas para la siguiente. Se evaluaba también la dificultad de diversos problemas de las tareas a la luz de cómo resultaron las discusiones en cada equipo.

Aparte, se sostuvo otra reunión de trabajo del profesor con los 4 ayudantes del curso, para estar todos al tanto de lo que se iba viendo en la semana, y planear la ayudantía adecuada del sábado siguiente. Ahí se discutían los exámenes parciales y se evaluaba hasta qué punto se iba logrando que no hubiera “mano negra” en ellos.

(B) El curso de Cálculo II este semestre

1. Las clases serán todos los días, de lunes a sábado, de 11:00 a 13:00 horas. (El horario de los sábados se puede modificar de común acuerdo entre todos los participantes, dado que son pocos los cursos que realmente se imparten ese día –a pesar de aparecer en los horarios oficiales–). Todos los días, todas las clases serán “presenciales en línea”: no “videos breves elaborados por el profesor” sin interactuar con los alumnos; no “notas de clase”, no “secciones de libros”, no “lecturas recomendadas” en lugar de la clase. Por supuesto habrá videos, notas y lecturas. Pero todo eso, en tal caso, es el “plus”. Si el grupo está de acuerdo, los videos de cada clase se subirán al Google Drive para que puedan ser consultados en cualquier momento; y las notas de cada día se subirán igualmente a la página, junto con los chats con ideas y preguntas planteadas por los alumnos conforme transcurre la clase. En cuanto a la lectura, no preocuparse: habrá muchas recomendaciones.

Los sábados el grupo se partirá en subgrupos de entre 35 y 40 alumnos, cada uno de los cuales será atendido por uno de los ayudantes en un horario posterior a la clase, en una sesión de 2 horas. El plan general de las ayudantías es discutir con los equipos de trabajo que habrán de formarse al principio del semestre (4 a 7 integrantes cada uno), ejercicios generales que recojan el trabajo realizado durante la semana (al margen de que, naturalmente, en cada clase se irán haciendo ejercicios también). Los problemas a abordar en las ayudantías son discutidos previamente semana a semana por el profesor con los ayudantes.

2. El número de alumnos de Cálculo II es usualmente mucho más numeroso que el de Cálculo I; a la vez que suele disminuir el número de asesores voluntarios con posibilidades de seguir desarrollando esa labor. De modo que será difícil sostener un asesor para cada equipo. Estamos viendo diversas alternativas ante ello (por ejemplo, asignar varios equipos a uno o varios asesores… u otras opciones).

Pero hay una cosa que queremos rescatar del semestre anterior, evitar que se pierda. En la evaluación final de cada estudiante fue fundamental el informe que cada asesor nos dio acerca del trabajo de cada integrante de su equipo: ellos pudieron hacerse una idea bastante buena de una parte significativa del grupo (los que participaban regularmente en las reuniones de su equipo), que habría resultado imposible hacerlo para el profesor. Y no hay evaluación más justa que la que se desprende del trabajo regular y cotidiano de cada uno. Así que tenemos que resolver este problema de alguna manera.

3. Varias de las iniciativas impulsadas el semestre pasado, en principio se sostendrán en este semestre:

(a) El Taller de demostraciones matemáticas, variando el sentido del mismo: Paoli y Diego han planteado varias ideas al respecto, que serán propuestas en los primeros días de clase (buscando que los participantes opinen sobre ellas).

(b) El Club de Lectura quincenal, abordando textos escogidos acordes con el contenido del curso.

(c) El grupo de trabajo semanal con los estudiantes a los que les cuesta más trabajo avanzar.

(d) La sesión de discusión de los exámenes cáliz de cada tema, uno o dos días previos al día del examen parcial.

(e) Sesiones especiales dedicadas a la solución de problemas de cada tema.

(f) En caso de que haya interés, horarios de asesoría en que algún asesor esté disponible para recibir preguntas, así como el correo “salvavidas-cálculo”, para aquellos alumnos que sientan un rezago especial que requiera de un apoyo personal.

4. Hemos estado discutiendo diversas iniciativas para homogeneizar a los compañeros que se incorporan al curso no habiendo llevado con nosotros Cálculo I. Una de ellas será un curso paralelo en el que se abordarán algunos puntos centrales de lo visto por nosotros en Cálculo I y que será utilizado en Cálculo II. Este curso será impartido por Beto en las tardes de las primeras dos semanas.

5. Todos los equipos de trabajo deberán nombrar un representante. La idea es mantener al menos una reunión de trabajo después de cada examen parcial entre los representantes y nosotros, para recoger sus inquietudes, observaciones, sugerencias, etc. sobre el curso.

Aparte, sostendremos reuniones de trabajo semanales de todo el grupo responsable del curso (profesor, ayudantes y asesores) y otra más del profesor con los ayudantes.

III. La evaluación

(a) La evaluación consta de tres partes: Una, el trabajo de las tareas, que se desarrollará en equipo (4 a 7 integrantes de preferencia). Otra, los exámenes parciales, que serán individuales. Y otra más, la evaluación del profesor, los ayudantes y los asesores en función de la participación de cada alumno en clase, en las ayudantías y, muy particularmente, en las reuniones de los equipos asistidas por los asesores.

(b) Por cada tema del curso habrá una tarea y un examen parcial. Las tareas –cada una de las cuales podrá dividirse en varias “entregas”, para no dejar que se acumule el trabajo– valdrán el 35% y los exámenes el 65%. Y para quienes quieran reponer algún examen parcial no aprobado –a lo más dos– o subir su calificación final, habrá un primer examen final escrito. Todos los exámenes se hacen a cámara abierta. Para exentar el examen final –promediando las tareas como se mencionó antes– no basta con tener promedio aprobatorio de los exámenes parciales, es requisito que en todos ellos –o en sus reposiciones– la calificación haya sido mayor o igual que 5.

(c) Si el día en que se realiza un examen (que por lo general serán los sábados) el alumno tiene algún otro compromiso y no lo presenta, puede utilizar una de sus dos reposiciones. Ningún examen se repite.

(d) Estamos discutiendo la posibilidad de hacer un “corte” del curso a la mitad del semestre, para que en lugar de que tengan que preparar un solo examen final con todo el material del curso, puedan hacerlo a la mitad del semestre con lo visto hasta ese momento y al terminar el mismo con la segunda parte del material. Esto puede hacer menos pesado el trabajo para todos los alumnos.

(e) Y estamos pensando también que alguna evaluación intermedia sea oral para todos, buscando con ello ayudar a cada alumno en la comprensión de sus necesidades de estudio. El problema desde luego está en que el grupo es muy grande. Un examen oral puede ser percibido como algo “muy difícil”, pero no sería el caso; al contrario.

(f) Dadas las irregularidades que pudieran presentarse en condiciones en que los alumnos no elaboran sus exámenes estando presentes el profesor y/o los ayudantes –y dada la experiencia a este respecto, propia y de otros profesores y alumnos–, la calificación aprobatoria en principio deberá revalidarse por todos al final en un examen oral. Éste podrá exentarse si el profesor, los ayudantes y los asesores consideran que la calificación obtenida en las evaluaciones escritas es fiel a la trayectoria del alumno. En caso de no tener elementos sólidos al respecto (por ejemplo, si el alumno participa poco en las reuniones de su equipo, en las ayudantías o en las clases), o encontrar alguna inconsistencia, el examen oral será obligatorio (a mayor promedio en todas las evaluaciones previas, más ligero el examen). Para que no se angustien por esta medida, les informo que el semestre pasado solo fue requerido a 2 estudiantes que revalidaran su calificación en un examen oral.

(g) Pero subrayo un aspecto en particular: si en algún examen parcial –o final, reposición, etc– se observa que alguna solución “pasó” de un alumno a otro, el examen de ambos quedará anulado, y uno y otro automáticamente deberán hacer el examen final escrito y, si lo aprueban, también oral. Esto será así independientemente de si “el que pasó” el problema lleva un promedio bueno, regular o espléndido. Y por aquello de la habilidad para disfrazar lo copiado, habiendo la duda en la evaluación, esta deberá ratificarse oralmente. Si alguien considera que esta medida es injusta, le pido fraternalmente que escoja otro curso (por fortuna hay 24 opciones en este semestre).

Aquí también les informo que por lo general no ha habido este problema en nuestros cursos: son realmente pocos los muchachos que por una razón o por otra no resisten la tentación de copiar o dejar copiar; en general, se logra establecer un ambiente de confianza entre todos nosotros basado en la honestidad de cada uno y en nuestra relación fraterna y nuestro ambiente de trabajo y de respeto en el curso.

IV. Orientación del curso

Desde los primeros años que impartí la materia, me fui convenciendo de que las dificultades en la adaptación a los cursos de la facultad –en particular al cálculo, pero no solamente– comienzan con el lenguaje mismo que se utiliza en ellos, el uso sistemático de la lógica formal, el hábito de demostrar todo lo que se afirma –cuestión fundamental de toda actividad científica–. Esto toma tiempo, debemos entenderlo, partir de ello. Pero es tiempo bien invertido, es algo que allana el camino posterior en todas sus materias a los estudiantes, en todos los semestres –de hecho, en toda su vida profesional–.

Por otra parte, es esencial –esencialísimo, diría yo– la comprensión de dos temas en los que descansa el concepto que juega el papel de columna vertebral del cálculo (me refiero al concepto de límite, a la idea de convergencia): esos temas son el infinito y los números reales. A mi parecer, estos temas reciben una atención demasiado superficial en el programa oficial de la materia, y los estudiantes acaban “pagando aduana” después por no haberse detenido en ellos.

Y hay otro elemento a tomar en cuenta: el papel de los cursos de cálculo en la formación matemática de los estudiantes de física, matemáticas, actuaría y matemáticas aplicadas, es demasiado importante como para reducirlos a la enseñanza de ciertos procedimientos y técnicas de solución de determinados problemas (integración, diferenciación, series, límites). Debemos preocuparnos por desarrollar la capacidad de los alumnos para traducir geométricamente –o físicamente– resultados más o menos complicados; y de descubrir por ellos mismos nuevos resultados. Sacarle filo a su intuición, a la vez que entrenarlos en el encadenamiento de largas secuencias de razonamientos lógicos que les ayuden a demostrar lo que conjeturen que es verdadero. Está claro que esto es algo que no se logra en un par de semestres, que lo irán desarrollando a lo largo de toda su carrera. Pero indudablemente los cursos de cálculo juegan un papel fundamental en eso: no de balde deben cursarlos durante la mitad de duración de sus carreras y representan un número de créditos cada uno igual a casi el doble de cualquier otra materia.

Llegar a clase y escribir un teorema, hacer la prueba y dar algunos ejemplos de cómo se aplica, puede ser bastante rápido. Pero llegar, formular una idea general sobre la cual reflexionar posibles resultados, recoger las propuestas, plantear contraejemplos que muestren las debilidades de las mismas y orienten los siguientes pasos a dar en la formulación de las hipótesis necesarias del resultado buscado, reproduciendo el ciclo hasta llegar a un resultado final sólido, robusto, pulido; y entonces sí, enunciarlo con precisión y probarlo formalmente –lo cual ya está prácticamente resuelto en la discusión previa–, es algo que toma mucho más tiempo. Pero es algo que puede resultar muy valioso –por lo menos en un serie de resultados– si buscamos que los estudiantes no simplemente “se enteren” de la matemática, sino que la redescubran y que sean capaces de hacer matemática, de crear matemática.

Todo lo anterior nos plantea que el curso de cálculo I está principalmente orientado a construir bien los cimientos, las columnas y las trabes; no solo en términos de los conceptos básicos –que sí–, sino del desarrollo mismo del pensamiento matemático, avanzando simultáneamente en el manejo de las ideas geométricas, lógicas, algebraicas y físicas; intuitivas y formales. Y el de Cálculo II a construir ya todo el edificio –más bien habría que decir, el primer piso del mismo, el que se refiere a las funciones reales de variable real.

No pretendo decir que todo esto está garantizado, que todo sale maravillosamente, ni mucho menos; sino simplemente que me guío con esa idea. No son pocas las veces que termino una clase con el sinsabor de que no me salió como hubiera querido, que no me gustó, que pude haberla dado mucho mejor. Esa es la realidad.

Pero en fin: podríamos decir que el primer curso tuvo entonces una orientación fundamentalmente “teórico-formativa”. Y en el segundo abordaremos ya los conceptos y procedimientos clave del cálculo: la diferenciación y la integración. En general, pienso que los cursos de Cálculo I y II deben verse como un todo.

Hechas todas estas aclaraciones, paso ahora a plantear en grandes rasgos los temas del curso:

V. Temario del curso

(1)Dado que un buen número de estudiantes cursan la carrera de física, y en ella les requieren desde las primeras semanas el manejo relativamente ágil de los métodos de derivación e integración, hemos procurado ordenar los temas del programa de forma de satisfacer esta necesidad. Así que aunque empezaremos con el tema de Teoría de la Derivada, haremos un “break” en él y nos meteremos de lleno en el objetivo de que aprendan a derivar y a integrar bien. El plan es el siguiente: una vez discutida la idea geométrica, física y heurística del concepto de derivada y establecida la definición del mismo, procedemos a discutir la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función en un punto. La diferencia entre hablar de la derivabilidad puntual y de la derivada como función, pasando a hacer el análisis geométrico cualitativo de la función derivada de funciones con gráficas que combinan comportamientos muy diversos (brincos, picos, asintoticidades, oscilaciones infinitas, separaciones “dirichletianas”, etc).

Para pasar a discutir después la argumentación geométrica y formal de todas las reglas de derivación: derivada de la suma de dos funciones, del producto, del cociente, de la composición, de la inversa. Y ahí concentrarnos en ver cómo se derivan los polinomios, las funciones racionales, las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas; y finalizar con combinaciones múltiples de todas estas familias de funciones y algunas otras especiales (oscilaciones infinitas, ...).

Aquí estamos al final de la segunda semana de clases. E interrumpimos el tema de teoría de la derivada (ya habríamos terminado el de métodos de derivación) y abrimos una discusión durante una clase para establecer la idea básica de la integral y del padre de todos los métodos de integración: el teorema fundamental del cálculo. Y abrimos entonces un paréntesis de un poco menos de dos semanas para discutir los principales métodos de integración. Aprender a integrar bien es el objetivo de esta parte, posponiendo para más adelante la discusión de toda la teoría de la integral. Cerraremos esta parte con algunos comentarios sobre las “integrales imposibles” de Liouville y las integrales de Fresnel.

Si todo marcha bien, el viernes 26 de marzo (aprovechando que este primer examen no dura más de dos horas en total y para no perder la clase del sábado 27, previo a semana santa), estaremos haciendo el primer examen parcial, que se restringiría a los puros métodos de derivación e integración: saber derivar e integrar bien, funciones suficientemente complicadas.

(2)Continuamos con el tema de Teoría de la derivada, orientándonos a la discusión de los grandes y trascendentes teoremas que convierten a este concepto en una herramienta potentísima del cálculo. Para ello, abrimos primero un paréntesis para discutir cuatro teoremas esenciales de las funciones continuas definidas en intervalos (dos de ellos) y más específicamente en intervalos cerrados (los otros dos). Los dos primeros son el Teorema del Valor Intermedio de Bolzano y el teorema que garantiza la continuidad de la inversa de una función. Los dos segundos son obra de Weierstrass.

Y entonces sí, nos metemos a discutir: el Teorema de Fermat, el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio de Lagrange, y toda una serie de trascendentes corolarios que se desprenden de él. El Teorema del Valor Medio de Cauchy, el Teorema de Darboux y el Teorema de la Función Inversa en R. Para pasar después al estudio de las oscilaciones infinitas.

Una vez hecho esto, procedemos a discutir el concepto de rapidez con la que una función se pega a otra –concepto fundamental para el manejo heurístico del cálculo–, todas las formas posibles de indeterminación de un límite (suma, producto, cociente, exponenciación) y los Teoremas de L’Hospital.

En medio de este tema, abriremos una discusión sobre 7 lemas y 8 corolarios (más los que se acumulen en esta ocasión como fruto de la discusión), que parten todos de una idea muy sencilla y que se convierten en la clave para cantidad de resultados posteriores (los criterios de máximos y mínimos entre muchos otros). Se trata de resultados todos ellos que tratan de sacar consecuencias sobre el comportamiento local de las funciones cuyo límite en un punto tiene un signo determinado –positivo o negativo– (y que se extienden a los conceptos de continuidad, derivabilidad, funciones de clase C1, C’’ y C2) . Son de tal utilidad, que en semestres anteriores he planteado a los grupos darles un nombre que permitan no olvidarlos (no solo en sus cursos de cálculo), lo cual dio lugar a que hace dos generaciones les pusieran el nombre de “Lemas Bimbo” (propuesto como broma por un estudiante, nada que ver con los resultados pero que tuvo la virtud de que después de eso... todos los recordaban).

Este tema 2 del curso, que podríamos llamar “Teoría de la Derivada” (aunque es más que eso), espero que nos tome alrededor de tres semanas, de manera que el 2º examen parcial lo estemos haciendo el sábado 24 de abril o el sábado 1º de mayo.

(3) El tercer tema se orienta a la discusión de algunas aplicaciones básicas de la derivada y durará dos semanas de clase (derivadas de orden superior, máximos y mínimos, concavidad–convexidad de las funciones, la diferencial, el teorema de Taylor y una breve introducción a las ecuaciones diferenciales elementales que surgen en el estudio del crecimiento de poblaciones, la ley de enfriamiento de Newton, etc.). Habrá al finalizar un nuevo examen parcial (3º).

(4)Teoría de la integral.

(A)Construcción de la integral, tres vías alternativas: Darboux, Riemann, du Bois Reymond. Prueba de su equivalencia. Propiedades básicas de la integral. Integrabilidad de operaciones entre funciones. El Teorema del Valor Medio y el Teorema del Valor Medio Generalizado para la Integral.

(B)El concepto de continuidad uniforme. El Teorema de Heine-Cantor.

(C) La relación entre continuidad e integrabilidad: los esfuerzos en el siglo XIX (Dirichlet, Smith, Hankel, Harnack, Dini, Cantor, Stolz, Jordan, Borel, Lebesgue) por extender la integral más allá de las funciones continuas y por resolver el problema de garantizar la integrabilidad de una función. ¿Qué tan discontinua puede ser una función para seguir siendo integrable? En el caso de un número infinito de discontinuidades, ¿el problema depende de la cardinalidad? ¿O de la forma en que la infinidad de discontinuidades “se acomodan” en el intervalo? ¿Cómo medir el espacio que ocupa un conjunto? Los conceptos de “contenido cero” de Jordan y “medida cero” de Lebesgue. La idea clave de un teorema de Riemann y otro posterior de Lebesgue, que culmina a principios del siglo XX toda esta discusión. (El desarrollo de la discusión histórica dependerá de cómo vayamos con el tiempo… si no podemos hacerlo aquí, lo haremos en su momento en Cálculo IV).

Espero que esto nos tome tres semanas. Al final, el 4º examen parcial.

(5)La integral como función (con límite de integración variable). Los dos teoremas fundamentales del cálculo, corolarios trascendentes, el teorema de cambio de variable. La integral impropia.

La vía más accesible para la definición y la prueba de las propiedades formales de la función logaritmo y la función exponencial.

Aplicaciones de la integral: volúmenes de sólidos y áreas de superficies de revolución, un teorema de Papus, métodos numéricos de integración).

5º examen parcial y fin del curso.

VI. Bibliografía

Nunca he seguido un texto en particular en ninguno de los cursos que imparto. Más bien, voy elaborando notas desde el principio de cada curso conforme me voy haciendo una idea de qué es necesario en el contexto particular de nuestros estudiantes de carne y hueso cada semestre, y de cómo “me van llevando” en la discusión.

Hay varios libros clásicos y otros de aparición más reciente que sirven muy bien para acompañar unas u otras partes del curso. Haré una lista de algunos de ellos, a reserva de que sobre la marcha les vaya sugiriendo otras lecturas en cada tema (las ediciones de los libros de la lista, son las de los ejemplares que yo tengo físicamente, pero por supuesto que cualquier otra edición funciona bien):

(a) Sagan, Hans: Advanced Calculus. Houghton Mifflin Company, 1974.

(b) Apostol, Tom M.: Calculus, vol. 1. Wiley International Edition, 1966. (Existe la traducción al español)

(c) Spivak, Michael: Cálculo. Editorial Reverté, 1981.

(d) Courant & John: Introducción al cálculo y el análisis matemático. Limusa, 1979.

(e) Hairer & Wanner: Analysis by its History. Springer-Verlag, 1996.

(f) Little, Charles; Teo, Kee; van Brunt, Bruce: Real Analysis via Sequences and Series. Springer, 2010.

(g) Menger, Karl: Calculus, A Modern Approach. Dover, 2007.

(h) Kline, Morris: El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial, 1992.

(i) Edwards, Charles Jr: The Historical Development od the Calculus. Springer-Verlag, 1979.

(j) Hawkins, Thomas: Lebesgue Theory of Integration, Its Origins and Development. AMS Chelsea Publishing, 1975.

(k) Boyer, Carl: The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover, 1959.

(l) Grabiner, Judith: The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Dover, 2005.

VII. ¿A quiénes podría recomendarles que llevaran el curso y a quiénes no se los recomendaría?

Empiezo por lo segundo:

(A) Si lo que ustedes buscan es aprender las herramientas básicas del cálculo sin profundizar básicamente en él. Si les fastidian las clases largas o muchas clases. Si piensan llevar muchas materias y entonces solo tienen posibilidades de dedicarle un tiempo más bien reducido al curso. Si conociéndose a sí mismos saben bien que aunque al principio del semestre tengan grandes propósitos, al cabo de varias semanas se empiezan a cansar y quieren acabar el semestre ya casi como sea. Si lo que en realidad quieren es pasar la materia (o más en general, obtener su título profesional) –si es con buena calificación qué mejor– sin preocuparles demasiado si aprenden mucho o poco en el camino.

Si les parece que es válido recurrir a bajar de internet las respuestas a los problemas que se les plantean para razonar y construir ustedes mismos las cosas. Si por ejemplo, en el tema de métodos de integración, piensan que es válido utilizar los programas que resuelven integrales para contestar la tarea o aún para resolver el examen. Si les parecen “moralinas” los exhortos a ser completamente honestos en la solución de sus tareas y sus exámenes, a no pasar ni pedir apoyo a sus amigos en la solución de los exámenes, a no hacer trampa conectando otro dispositivo para consultar posibles fuentes en donde pudieran venir las respuestas del examen.

Si ustedes están en alguno de los casos anteriores (mucho más si lo están en varios de ellos), les recomiendo sinceramente que no lleven este curso. Casi les puedo asegurar que si lo hacen, van a terminar quejándose, molestos, fastidiados, deseando todo el tiempo que ya se acabe todo, echando ajos y culebras contra el profesor y todo el equipo. Como les decía en el apartado sobre la evaluación, tienen 24 opciones de curso de cálculo II distintas, son ustedes los que eligen, es decisión suya y de nadie más, es responsabilidad suya la elección de la dinámica de trabajo en la que se verán involucrados, no vale quejarse después, han sido advertidos con toda franqueza, con toda la sinceridad que me cabe.

Pero por otro lado:

(B) Si lo que buscan es redescubrir ustedes la matemática, no solo recibir la información sobre ella. Si les interesa analizar geométricamente cada concepto, cada resultado –o por lo menos los más importantes–; discutir por qué las hipótesis son unas y no otras. Si les interesa aprender a formularlo, a demostrarlo y a aplicarlo ustedes mismos. Si les interesa trabajar en desarrollar su habilidad para intuir los resultados, para aprender a hacer tanto el análisis heurístico como el formal de las cosas.

Si ante las posibles lagunas en su formación previa están ustedes dispuestos a trabajar lo que sea necesario para emparejarse.

Si están de acuerdo en hacer lo que esté en sus manos por ayudar a que todos sus compañeros aprendan, aprender ustedes mismos de ellos, sean los más sobresalientes o sean a los que les cuesta más trabajo. Si tienen el ánimo de meterle todo su esfuerzo para dominar bien el cálculo.

Si están ustedes en esta situación, el curso puede ayudarles. Y no porque todo esto esté garantizado (no tenemos la arrogancia de afirmar eso), sino porque pueden estar seguros que de nuestra parte habrá el mayor esfuerzo por lograrlo, a pesar de nuestras propias limitaciones.

VIII. Y por último…

Esta experiencia, provocada por la pandemia, es nueva para todos nosotros. En general, planteo a mis alumnos que casi todo lo propuesto es modificable, que lo iremos moldeando conforme avancemos. Ahora lo hago con mayor razón… Siéntanse en confianza para plantear las cosas que quisieran fueran de otra forma, y entre todos vamos viendo. Por nuestra parte, muy probablemente haya cosas que cambiar, si al avanzar percibimos que no funcionan bien o podemos mejorarlas en general.

Tendrán todas las formas de apoyo que se nos han podido ocurrir. Por más que el grupo será muy grande, hemos procurado garantizar que todos los días de la semana tengan a quién recurrir si necesitan ayuda. Hemos implementado una variedad de alternativas para empujar hacia delante tanto a los que tienen mayores dificultades como a los que tienen mayor soltura en el manejo de las cosas. La única condición es que tengan la disposición de meterle el alma al trabajo, al curso, a todo este proyecto que va mucho más allá de proponerse “cubrir los temas” de un programa.