Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2021-1

Octavo Semestre, Proyecto II

Análisis espectral de procesos de difusión cambiantes

El objetivo de esta asignatura es que los estudiantes trabajen en proyectos relacionados con el análisis espectral de procesos de difusión cambiantes (o switching diffusion processes en inglés). Estos procesos toman valores bivariados de la forma (X(t),Y(t)) donde la primera componente (o nivel) es un proceso de difusión unidimensional y la segunda componente (o fase) es una cadena de Markov a tiempo continuo que modela el cambio de fases. Ambas componentes normalmente dependen una de la otra. Estos procesos fueron introducidos por primera vez por S.M. Berman en [1] y posteriormente analizados por muchos autores. Referencias actualizadas son los libros [5] y [6]. El análisis espectral de este tipo de procesos se hizo por primera vez en [3] donde se analizó un ejemplo de tipo Wright-Fisher y posteriormente se han analizado otros ejemplos en [4].

Actualmente existen muy pocos ejemplos de procesos de difusión cambiantes que se hayan analizado espectralmente. El problema radica en que hay que encontrar los eigenvalores y funciones (a valores matriciales) del operador infinitesimal, que en este caso es un operador diferencial de segundo orden con funciones matriciales como coeficientes y con cierta estructura especial. Una de las herramientas con las que se puede disponer es la teoría de polinomios ortogonales matriciales que verifican ecuaciones diferenciales de segundo orden, introducida por primera vez en [2]. El objetivo de este curso es que los estudiantes puedan estudiar estos procesos con más profundidad y tratar de analizar espectralmente algún ejemplo que no haya sido estudiado anteriormente, bien acoplando algún ejemplo existente de la teoría de polinomios ortogonales matriciales que verifican ecuaciones diferenciales a esta situación o analizando algún ejemplo de los que aparecen en [5] ó [6].

Bibliografía

[1] Berman, S.M., A bivariate Markov process with diffusion and discrete components, Comm. Statist. Stochastic Models 10 (2) (1994) 271-308.

[2] Durán, A.J. y Grünbaum, F.A., Orthogonal matrix polynomials satisfying second order differential equations, Internat. Math. Research Notices 10 (2004), 461-484.

[3] de la Iglesia, M.D., Spectral methods for bivariate Markov processes with diffusion and discrete components and a variant of the Wright-Fisher model, J. Math. Anal. Appl. 393 (2012), 239-255.

[4] de la Iglesia, M.D. y Román, P., Some bivariate stochastic models arising from group representation theory, Stoch. Proc. Appl. 128 (2018), 3300-3326.

[5] Mao, X. y Yuan, C., Stochastic differential equations with Markovian switching, Imperial College Press, London, 2006.

[6] Yin, G.G. y Zhu, C., Hybrid Switching Diffusions. Properties and Applications, Stochastic Modelling and Applied Probability, 63. Springer, New York, 2010.