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IngresarMatemáticas Aplicadas (plan 2017) 2021-1
Séptimo Semestre, Proyecto I
| Profesor | Jesús López Estrada | lu mi vi | 11 a 12 |
| Profesor | Louis David Bretón Tenorio | ma ju | 11 a 12 |
| Ayudante |
Enlace de la reunion:
https://meet.google.com/zpm-uthn-ipu
Objetivos:
En objetivo central de este curso de Proyecto de investigación I: Matemática y Medicina es que al final cuenten con plan claro de proyecto de investigación que al finalizar el curso Proyecto de Investigacióon II: Matemáaticas y Medicina el reporte final sea prácticamente la tesis.
Asignaturas antecedentes:
Análisis Numérico, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Diferenciales Parciales, Taller de Modelación Matemática II.
Requerimientos:
Experiencia con un lenguaje de programación (Matlab, SciLab, Python y/o C).
Recursos didácticos:
Clases por video-conferencia mediante meet y/o zoom, y usando presentaciones en beamer y pizarrón, notas de clase y video-clips selectos relativos a los proyectos propuestos.
Evaluación:
Exposición de avances, prácticas de simulación numérica y proyecto de curso.
Proyectos:
Entre los proyectos concretos de investigación en Medicina están: el estudio epidemiológico del Covid-19, estudio de la dinámica viral del SARS-Cov2 in host, la detección temprana de cancer de mama por medios no-invasivos (problema inverso de impedancia eléctrica, tomografía óptica, etc.), la develación de una obstrucción en fluido viscoso de Stokes (o develación temprana de una estenosis en coronarias), y movilidad social usando localizadores WiFi y control de pandemias como el Covid-19.
Proyecto 1: Estudio epidemilógico del Covid-19 en México I.
Fundamentación/Motivación.
Es de dominio público las deficiencias observadas en el estudio de la evolución de la pandemia del Covid-19 en México aplicando variantes del modelo SIR de Kermack-McKendrich. Una razón de ello, es considerar la tasa de infección constante en el transcurso de la pandemia, cuando las medidas de control de la pandemia sobre las conductas de convivencia social decididas por las autoridades de salud van cambiado semana a semena.
Meta.
El objetivo de este proyecto consiste en determinar la tasa de infección como una función del tiempo mediante interpolación usando tres modelos, logístico, de Gompertz y SIR con tasas de infección constante a tramos que permitan obtener buenos y aceptables ajustes a los datos oficiales reportado sobre casos o/y defunciones.
Requisitos.
Epidemiología matemática Básica (Cap.2 en ([Bra])), Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) y estimación numérica de parámetros en EDOs.
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Proyecto 2: Estudio epidemilógico del Covid-19 en México II.
Fundamentación.
Las mismas del proyecto antecedente.
Meta.
El objetivo de este proyecto consiste en determinar la tasa de infección como una función del tiempo visto el problema como uno de control óptimo de trayectoria prescrita pensando a la tasa de infección como el control a determinar que mejor replique los datos oficiales reportado sobre casos y defunciones.
Requisitos.
Epidemiología matemática Básica (Cap.2 en [Bra])), Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs), Elementos de Teoría de control óptimo en EDOs, solución numérica de EDOs, método del gradiente en espacios de Hilbert.
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Proyecto 3: Estudio inmunológico del SARS-Cov2 in host.
Fundamentación.
Una pregunta central por responder es indagar el comportamiento de la dinámica viral y la respuesta inmune del SARS-Cov2 causante de la enfermedad Covid-19. Por ejemplo, dado un individuo infectado ¿la enfermedad será leve, mediana o severa? ¿Cuál es el daño en los pulmones causado por la infección del SARS-Cov2? ([Mar])-([Asa]).
Meta.
Desarrollar un modelo de dinámica viral in host para el SARS-Cov2 que con la adquisición de datos sobre pacientes con seguimiento permita responder las preguntas antes planteadas entre otras.
Requisitos.
Inmunología matemática básica, EDOs y estimación de parámetros en EDOs.
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Proyecto 4:
Monitoreo de daño hepatico.
Fundamentación
El hígado es el órgano más grande del organismo humano que tiene la propiedad especial de auto regeneración, participando en más de 500 funciones que efectuá todo el organismo y jugando un importante papel en el procesamiento de los alimentos, azúcar y grasas. Y también un papel muy especial en el sistema inmune.
Un hígado dañado puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis), dando lugar a la disfunción hepática de graves consecuencias: ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre), inchasón en piernas y tobillos, disfunción renal y problemas de disfunción cerebral.
La fibrosis es una acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización y es consecuencia del daño hepático (agreción y/o muerte de hepatocitos), causado por exceso de bebidas embriagantes, hígado graso e infección por los virus de la hepatitis B y C. 3 El daño hepático estimula al sistema inmune con inflamación y liberando sustancias bio-químicas (citocinas, factores de crecimiento y otras), algunas de ellas involucradas directamente en la activación de las células estelares para la producción de colágeno, y con ello la fibrosina, causando el crecimiento de la matriz extracelular (tejido conectivo no funcional fibroso).
El tratamiento de un paciente con presencia de fibrosis hepática depende, esencialmente, del grado del daño hepático. La biopsia hepática per cutanea es considerada como el mejor procedimiento disponible para el diagnóstico y evaluación de la eficacia del tratamiento [Ols]. Pero es riesgosa, dolorosa y requiere de la hospitalización del paciente [Mah]. Por otro lado, las muestras de tejido obtenidas por este procedimiento son muy chicas y dudosa su representatividad del estado de todo el hígado.
Esto da lugar al planteamiento de un problema relevante y gran impacto en medicina, la propuesta de un procedimiento alternativo y no invasivo a la biopsia per cutanea para el monitoreo del desarrollo de la expansión de la fibrosis hepática ([Fus])-([Frd]). 4
Meta.
Desarrollo de un modelo matemático de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) para el estudio de la evolución de la fobrosis hepática que permita monitoriar la evolución del daño hepático usando como herramienta una combinación de biomarcadores específicos, y con ello, evitando el uso de la biopsia per cutanea.
Requsitos.
Fisiología básica del hígado e identificación de biomarcadores específicos ante daño hepático, modelos de EDPs de reacción-difusión y transporte y estimación de parámetros en EDPs.
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Proyecto 5: Detección de cáncer de mama mediante impedancia eléctrica.
Fundamentación.
Se ha encontrado alguna evidencia de que los tumores de mama malignos tienen una impedancia eléctrica más baja que los tejidos normales circundantes. En teoría es posible separar los tumores malignos de las lesiones benignas según las mediciones de impedancia. Es decir la impedancia eléctrica puede ser utilizada como indicador para la detección del cáncer de mama ([Che]).
Meta.
Investigar las técnicas de impedancia eléctrica existentes propuestas para la detección del cáncer de mama, con énfasis en no invasivas técnicas de imagen de impedancia.
Requisitos
Problemas inversos en EDPs, Solución numérica de EDPs por métodos de elemento finito y Optimización.
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Proyecto 6: Detección de un objeto inmerso en un fluido de Stokes.
Fundamentación.
El problema de la detección de un objeto inmerso en un fluido tiene diversas aplicaciones, que van desde el diseño de piezas mecánicas en ingeniera hasta la detección de obstrucciones parciales en el flujo sanguíneo ó tumores en medicina.
Meta
Dado un cuerpo rígido inaccesible D es sumergido en un fluido viscoso, de tal manera que D juega el papel de un obstáculo alrededor del cual el fluido que fluye en un dominio, se desea determinar D (es decir, su forma y ubicación) mediante la medición del tensor de Cauchy en los limites del dominio del fluido ([Alv]).
Requisitos.
Problemas inversos en EDPs, Solución numérica de EDPs por métodos de elemento finito y Optimización.
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Proyecto 7: Posicionamiento preciso utilizando un sólo punto de acceso wifi.
Fundamentación.
Los últimos años han visto avances significativos en interiores posicionamiento utilizando señales inalámbricas. Los sistemas de vanguardia han logrado una precisión de decenas de centímetros, incluso utilizando conjuntos de chips WiFi básicos . Sin embargo, las propuestas existentes se dirigen a redes empresariales, donde múltiples puntos de acceso WiFi pueden combinar su información y cooperar para localizar a un usuario. sin embargo, el la gran mayoría de hogares y pequeñas empresas de hoy un único punto de acceso WiFi ([Vas]).
Meta.
El objetivo es desarrollar una tecnología (software) que pueda localizar usuarios y objetos utilizando un solo punto de acceso WiFi.
Requisitos.
Transformada inversa de Fourier no equiespaciada y Optimización.
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Referencias
[Alv]Alvarez, C., Conca, C., Lecaros, R., & Ortega, J. H., On the identification of a rigid body immersed in a fluid: A numerical approach, Eng. Anal. with Bdry. Elements Vol.32, No.11 (2008) 919–925.
[Asa]Asachenkov, A., Marchuk, G.I., et al., Disease Dynamics, Birkhaüzer, 1994.
[Bra]Brauer, F., van de Driessche, P., Wu,J., Mathematical epidemiology, Springer, 2008.
[Car]Carrión, Jo. A., Utilidad del Fibroscan para evaluar la fibrosis hepáatica, Gastroenterol.y Hepatol. 32, n.6 (2009) 415–423.
[Che]Cheney, M., Issacson, D., Newell, J.C., Electrical impedance tomography, SIAM Rev. Vol. 41, No 1 (1999) 85 – 101.
[Fri]Friedman, S. L., Mechanisms of Hepatic Fibrogenesis, Gastroenterology, vol. 134, no. 6 (2008), 1655–1669.
[Frd]Friedman, A., Hao, W., Mathematical modeling of liver fibrosis, Math. Bioscie. & Eng. Vol. 14, Num 1 (2017) 143 – 164.
[Fus]Fusi, L., Macroscopic models for fibroproliferative disorders: A review, Math. and Computer Modelling 50 (2009), 1474–1494.
[Mar]Marchuk, G.I., Mathematical models in Immunology, Optimization Software, Inc., 1983.
[Mah]Mahal, A. S., Knauer, C. M., and Gregory, P. B., Bleeding after liver biopsy, Western J. of Medicine, vol. 134, no. 1 (1981), 11–14.
[Mai]Martcheva, M., An Introduction to Mathematical Epidemiology, Springer, 2015.
[Ols]Olsson, R., Hagerstrand, I., et al., Sampling variability of percutaneous liver biopsy in primary sclerosing cholangitis, J. of Clinical Pathology, vol. 48, no. 10 (1995), 933–935.
[Vas]Vasisht, D., Kumar, S., & Katabi, D., Decimeter-level localization with a single WiFi access point. En 13th USENIX Symposium on Networked Systems Design and Implementation (NSDI 16), (2016) 165–178.
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