Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Álgebra Moderna III

Grupo 4341

Semestre 2021-1

Curso a Distancia

Profesor: Dr. José Ríos Montes

1. jrios@matem.unam.mx

2. jrios@ciencias.unam.mx

Ayudante: Jesús Villagómez Chávez

1. jesus_vc9@ciencias.unam.mx

2. jesus_vc9@outlook.com

3. jesus_vc@matem.unam.mx

¡¡Bienvenidas y bienvenidos!!

Antes que nada, este curso se trata de una introducción a la teoría de módulos y teoría de anillos. Si tomamos como referencia a "A History of Abstract Algebra" de Israel Kleiner, esta teoría que estudiaremos viene motivada de las K-álgebras (anillos dotados de un K-producto interno) y de la introducción de los cuaterniones por parte de Hamilton (y de otros anillos no conmutativos, durante el transcurso del siglo XIX). Con ellos, la necesidad de de una clasificación y descomposición. Dentro de este último objetivo, podemos remitirnos a las primeras descomposiciones y clasificaciones de B. Pierce. Como pueden ver, en este contexto encontramos el principio de un cambio de paradigma en el estudio del álgebra, de ver únicamente las propiedades operacionales de la estructura a estudiar la estructura por sí misma, su relación con otras estructuras del mismo tipo, y el uso de métodos homológicos y reticulares. Cambiamos de lo interno a lo externo.

Posteriormente, en la primera mitad del siglo XX, llegamos a la consolidación de la teoría. Fraenkel y Sono formalizaron el concepto de anillo. Mientras que con Noether y Artin se puede considerar el inicio. Por ejemplo, en 1927, se prueba el teorema de Wedderburn-Artin, sobre la estructura de los anillos semisimples.

Clases:

1. Clases por Zoom en el horario de clases.
2. Usaremos google classroom para coordinar los esfuerzos, avisos y trabajos.
3. Ahí mismo subiremos notas.
4. Sesiones con el ayudante, igual, mediante Zoom. Y con previo aviso podrían haber sesiones extras para más resolver dudas.

Temario:

I) MÓDULOS.

a) Definición y ejemplos.
b) Submódulos y cocientes.
c) Homomorfismos de módulos y teoremas de isomorfismo.

II) CATEGORÍAS Y FUNTORES.

a) Definiciones y ejemplos.
b) Productos y coproductos en categorías
c) El funtor Hom.
d) La categoría R-Mod.
e) Prerradicales.

III) RETÍCULAS.

a) Definiciones y ejemplos.
b) Retículas distrubutivas y retículas modulares.
c) Reticulas complementadas.
d) La retícula de submódulos de un módulo.
e) Átomos y coátomos en retículas.

IV) CONDICIONES DE FINITUD EN RETÍCULAS.

a) Retículas artinianas y retículas neterianas
b) Condiciones de finitud en R-Mod.
c) Teoremas clásicos para anillos artinianos y anillos neterianos.
d) Zoclo y radical de retículas y módulos.

V) MARCOS Y CUANTALES.

a) Diversos resultados muy recientes relativos a estos objetos de estudio.

Evaluación:

Normalmente calificamos con 100%. Sin embargo, dadas las condiciones actuales, les proponemos la siguiente evaluación:

1. Exámenes
2. Tareas
3. Exposiciones
4. Sesiones en grupo y cuestionarios.

Bibliografía:

1. Anderson, F. & Fuller, K. Rings and categories of modules. New York. Springer Verlag. 1992

2. Beachy J.A. Introductory Lectures on Rings and Modules. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press. 1999

3. Cárdenas, H. & Lluis, E. Módulos semisimples y representación de grupos finitos. Volumen I de Serie Sociedad Matemática Mexicana. Sociedad Matemática Mexicana. editorial F. Trillas. 1970

4. Gentile, E. Estructuras algebraicas II. Washington, D.C. OEA. 1971

5. Stenström, B. Rings of quotients. New York. Spreinger Verlag. 1975

6. Wisbauer, R. Foundations of module and ring theory. Düsseldorf. Gordon and Breach science publishers.1991

¡¡Atención!!

Tendremos un cambio de horario. El nuevo será de 14 a 15 hrs.

¡¡Atención!! (2)

Les enviamos el enlace a las reuniones:
https://zoom.us/j/4755313605?pwd=SzFVa2VIVC9WaUppUkk3YlQzeGd6dz09
Meeting ID: 475 531 3605
Passcode: HTP4vf

Nos reuniremos el viernes 25 de septiembre.

¡¡Atención!! (3)

Para entrar al classroom del curso, sigamos la siguiente liga: https://classroom.google.com/c/MTY5ODE0NjM3MzAw?cjc=2ddu4ho
O mediante el código: 2ddu4ho