Matemáticas (plan 1983) 2021-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático IV

1. Topologías débiles. Espacios Reflexivos. Espacios Separables. Convexidad Uniforme.

- La topología menos fina que hace continuas a una familia de aplicaciones.

- Definición y propiedades elementales de la topología débil $\sigma(E,E^*)$.

- Topología débil, conjuntos convexos y operadores lineales.

- La topología débil estrella $\sigma(E^*,E)$.

- Espacios reflexivos.

- Espacios separables.

- Espacios uniformemente convexos.

2. Espacios $L^p$.

- Algunos resultados de integración que todos deben saber.

- Definiciones y propiedades elementales de los espacios $L^p$.

- Reflexividad y separabilidad. El dual de $L^p$.

- Convolución y regularización.

- Criterio de compacidad fuerte en $L^p$.

3. Espacios de Hilbert.

- Definiciones y propiedades elementales. Proyecciones sobre conjuntos cerrados convexos.

- Espacio dual de un espacio de Hilbert.

- Los teoremas de Stampacchia y Lax-Milgram.

- Sumas de Hilbert. Bases Ortonormales.

4. Operadores compactos. Descomposición espectral de operadores autoadjuntos compactos.

- Definiciones. Propiedades elementales. Operador adjunto.

- Teoría de Riesz-Fredholm.

- Espectro de un operador compacto.

- Descomposición espectral de operadores autoadjuntos compactos.

5. Espacios de Sobolev.

- Motivación.

- El espacio de Sobolev $W^{1,p}(I)$.

- El espacio $W^{1,p}_0$.

- Algunos ejemplos de problemas con valores en la frontera.

- El principio del máximo.

- Eigenfunciones y descomposición espectral.

* Este último capítulo es optativo, vamos a ir viendo cómo llegamos a él dependiendo del ritmo que tengamos en el curso.

Bibliografía

Brezis H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Universitext, 2010.

Evans Lawrence C., Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 1997.

Kreyszig E., Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, 1989.