Ciencias de la Tierra (plan 2011) 2020-4

Segundo Semestre, Matemáticas para las Ciencias de la Tierra II

1. Presentación

Los cursos de matemáticas de las licenciaturas en Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Computación son un
espacio para que los estudiantes se inicien en el uso de los contenidos y significado de la matemática aplicada a la
construcción de conocimiento. En ellos se trata de propiciar el aprendizaje de esta disciplina como un método de
investigación con el que es posible representar aspectos esenciales de procesos naturales en todas las escalas y las más
diversas formas de organización de la materia y sus manifestaciones con el propósito de deducir posibles formas de
comportamiento de tales procesos. En particular, se trata de representarlos como sistemas dinámicos; es decir, como
constituidos por componentes interrelacionadas cuyas interacciones, plausiblemente, producen cambios observables.
Los aparatos matemáticos para desarrollar esas representaciones son las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones
recurrentes o en diferencias. A su vez, el instrumental con el que se construyen estos aparatos incluye, primordialmente,
el cálculo infinitesimal de una y varias variables y el álgebra lineal. Ası́, en los cuatro cursos de ambos planes de
estudio, se desarrollan las bases necesarias de álgebra lineal (que se incluyen en los cursos segundo y cuarto); el
cálculo diferencial e integral de una variable (Matemáticas i) y de varias variables (Matemáticas ii y Matemáticasiii)
y la introducción a la teorı́a de los sistemas dinámicos como ámbito de aplicación de las ecuaciones diferenciales y
las recurrentes (Matemáticas iv).

En este segundo curso

1. Se da una introducción general al álgebra lineal para comprender
a) la geometrı́a de los espacios vectoriales reales;
b) el comportamiento lı́mite de una ecuación de recurrencia lineal con n variables de estado;
c) la parametrización del desplazamiento de una partı́cula que se mueve con dos o tres grados de libertad y
el cálculo de su velocidad y su aceleración; y
d ) la construcción de la diferencial de una función de varias variables.

2. Se extienden las herramientas del cálculo diferencial de una variable al análisis de la variación de campos
escalares en los que una cantidad, representable mediante un número real, depende de varias variables; por
ejemplo, en el caso de la temperatura o la presión (cantidades escalares), cuyo valor depende, en principio, de
la posición en el espacio (que se describe mediante una terna de valores); en particular, este análisis se aplica
a resolver problemas de optimización.

2 Temario

El contenido temático oficial de este curso puede bajarse de la red desde el sitio:
http://www.fciencias.unam.mx/asignaturas/1216.pdf
y será cubierto aproximadamente en el orden que se indica en la siguiente lista:

2.1. Aritmética vectorial y geometrı́a del plano y el espacio tridimensional

1. Aritmética de los desplazamientos
2. Ecuación vectorial de una recta.
3. El producto punto
4. El producto cruz
5. Ecuación vectorial del plano
6. Coordenadas rectangulares, polares, cilı́ndricas y esféricas.
7. Ecuación de las cónicas en coordenadas polares.
8. Curvas y trayectorias en el plano y en el espacio. Velocidad y aceleración.

2.2. Funciones reales de varias variables

1. El espacio euclideano real n-dimensional
2. Independencia lineal
3. Funciones lineales del espacio n-dimensional en los reales
4. Planos e hiperplanos. Ecuaciones cartesianas
5. Campos escalares en regiones del plano y el espacio tridimensional
6. Superficies cuádricas

2.3. Funciones lineales del espacio n-dimensional en sı́ mismo

1. Matrices y funciones lineales
2. Diagonalización
3. Espacios invariantes bajo una transformación lineal
4. Valores y vectores propios
5. Crecimiento de poblaciones con estructura de edades

2.4. Diferenciación de funciones reales de varias variables

1. Derivación parcial
2. Cálculo algebraico de derivadas parciales
3. La mejor aproximación lineal a una función en la vecindad de un punto
4. Gradientes y derivadas direccionales
5. Derivadas parciales de segundo orden. La mejor aproximación cuadrática a una función en la vecindad de un
punto
6. La diferencial de una función del espacio n-dimensional en el espacio m-dimensional. Regla de la cadena

2.5. Optimización de funciones de varias variables

1. Puntos crı́ticos: extremos locales y puntos de ensilladura
2. Extremos absolutos en dominios cerrados y acotados
3. Optimización restringida: multiplicadores de Lagrange.

3. Evaluación

A lo largo del semestre, se harán tres exámenes parciales. Los dos primeros constarán de dos partes: una tarea que
podrá hacerse en equipo y una prueba individual en lı́nea. El tercer parcial constará sólo de una lista de problemas.

3.1. En relación con la tarea

1. Podrá ser resuelta individualmente o en equipos de no más de tres personas. En su caso, todos los miembros del
equipo, serán igualmente responsables de los resultados que entreguen, independientemente de cómo se haya
distribuido entre ellos el trabajo de escribir los reportes.
2. Se les indicará oportunamente en la plataforma Google-Classroom y deberá entregarse en dos versiones: una
preliminar y, otra, definitiva, en las fechas señaladas en el calendario (véase la sección 4., infra).
3. En la versión preliminar, los equipos mostrarán los intentos de solución de todos los problemas y éstos servirán
de base a la orientación que dará el profesor ayudante en las sesiones de asesorı́a que tendrán lugar antes de la
aplicación de la prueba individual.
4. Si las versiones de la tarea no se entregan puntualmente, por cada dı́a de retraso, la calificación máxima
disminuirá en un 10 %.

3.2. En relación con las pruebas individuales

1. Se aplicarán en lı́nea durante las sesiones correspondientes a las fechas programadas. Esos dı́as es particular-
mente importante incorporarse a la videoconferencia puntualmente.
2. Al finalizar el tiempo de máxima resolución indicado en el enunciado del examen, los estudiantes lo digitali-
zarán y lo subirán al Classroom; a continuación, el examen se resolverá en clase con todo detalle para que,
después, cada alumno elabore individualmente un reporte de autoevaluación en el que identifique sus fortalezas
y debilidades: la plena comprensión o las dudas de cómo resolvió correctamente algún ejercicio o el origen de
los errores que hubiere cometido o de la incomprensión de algún problema.
3. El reporte de autoevaluación deberá subirse al Classroom en la sesión siguiente a la resolución de la prueba en
el salón de clase.
4. El profesor Alejandro Paredes revisará con los estudiantes los temas que éstos hayan identificado en su reporte
y asignará la calificación correspondiente al examen con base en la pertinencia de la autoevaluación que hayan
entregado.

3.3. De la calificación final

La calificación de los dos primeros parciales es el promedio ponderado de lo que se obtenga en la lista de
problemas (70 %) y de la prueba individual (30 %). El 100 % de la calificación del tercer parcial, es lo que se
obtenga en la lista de problemas correspondiente.

La calificación final es igual al promedio de las de los tres parciales redondeada al entero más próximo. La
calificación mı́nima aprobatoria es 6. Si no aprueban el curso, se reportará como que no se presentaron (NP).
La asistencia a clase a lo largo de todo el curso se traducirá en un punto extra o la parte proporcional corres-
pondiente, en la calificación final.

Si alguien no está conforme con la calificación que haya obtenido mediante el procedimiento descrito, podrá pre-
sentar un examen final que se aplicará el viernes 11 de septiembre. Sólo podrán presentar el examen final quienes
tengan un 80 % del total de las asistencias registradas y hayan entregado las tres listas de problemas.

4. Calendario de exámenes parciales
1ro
Entrega de la versión preliminar de la lista de problemas: viernes 7 de agosto.
Prueba individual y entrega de la versión definitiva de la lista de problemas: viernes 14 de agosto.
Entrega del reporte de autoevaluación: lunes 17 de agosto.

2do
Entrega de la versión preliminar de la lista de problemas: viernes 21 de agosto.
Prueba individual y entrega de la versión definitiva de la lista de problemas: viernes 28 de agosto.
Entrega del reporte de autoevaluación: lunes 31 de agosto.

3ro
Entrega de la versión preliminar de la lista de problemas: viernes 4 de septiembre.
Entrega de la versión definitiva de la lista de problemas: viernes 11 de septiembre.
En este caso no habrá autoevaluación.

N.B. Este calendario puede modificarse, de ser necesario, según se desarrolle el curso. Cualquier cambio se acor-
dará oportunamente con el grupo.

5. Sobre la bibliografı́a

La bibliografı́a se ha seleccionado con el propósito de que los estudiantes aprendan a plantear y resolver
problemas cuya solución dependa de aplicar adecuadamente técnicas y conceptos del álgebra lineal y el cálculo
de varias variables. Intencionalmente, el curso es más informal que teórico.

La mayor parte del curso se seguirá casi puntualmente en los capı́tulos 10 a 13 del texto de Anton, Bivens y
Davis ([2, pp. 692-999]) y los tópicos de álgebra lineal se hallan en los libros de Lay ([3]) y de Anton y Rorres
([1]). Las listas de problemas de cada parcial se formarán con ejercicios de estas referencias.

Todas las referencias y sus correspondientes “solucionarios” pueden bajarse de la red de internet gratuitamente.
Se recomienda a los estudiantes usar los solucionarios como materiales de apoyo y acudir a ellos sólo después
de haber intentado resolver los problemas por sı́ mismos. La copia simple o acrı́tica de las soluciones de tales
materiales no será considerada como trabajo válido para el curso.

Referencias

[1] Anton, Howard y Chris Rorres (2014). Elementary Linear Algebra. Applications Version. Eleventh Edition.
Reading, Massachussets. John Wiley and Sons (xii + 713 pp. + apéndices).
[2] Anton, Howard; Irl Bivens y Stephen Davis (2009). Calculus. Early Trascendentals. 10th Edition. Hoboken, Nueva
Jersey, John Wiley and Sons, (xx + 1168 pp. + apéndices).
[3] Lay, David C. (2012). Linear Algebra and its Applications, 4th Edition. Boston, Pearson Education, (xvi + 492
pp. + apéndices).