Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2021-1

Optativas, Análisis Funcional Aplicado

Enlace reunion:

https://meet.google.com/nrm-gptu-pmi

Objetivos: El propósito central de este curso, que bien se podría llamar también Análisis Funcional Aplicado al Análisis Numérico de los Métodos de Elementos Finitos (MEF) para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs), entre otros, es introducir al estudiante a los métodos del Análisis Funcional que están directamente vinculados a la solución numérica de las EDPs, por métodos de elementos finitos.

Asignatura antecedente: Análisis matemático aplicado.

Requerimientos: Experiencia con un lenguaje de programación (Matlab, SciLab, Python y/o C).

Recursos didácticos: Clases por video-conferencia mediante meet y/o zoom usando presentaciones en beamer y pizarrón, notas de clase, video-clips selectos relativos a los temas de esta materia.

Evaluación: Tareas, lecturas, prácticas de simulación numérica y proyecto de curso.

PROGRAMA

PARTE A. Antecedentes.

1-Espacios Métricos. Conceptos y teoremas fundamentales.

2-Integral y espacios de Lebesgue. Nociones y teoremas centrales sobre la medida e integral y espacios de

Lebesgue.

3-Espacios de Banach.Conceptos fundamentales y sus teoremas relevantes.

4-Espacios de Hilbert.

Nociones esenciales y sus teoremas fuertes.

5- Panorámica de los métodos en diferencias vía ejemplos.

Métodos en diferencias y la ecuación del calor. Consistencia y error de

truncamiento, método estable y convergencia. Ecuaciones de advección

y de onda.

PARTE B. Análisis Funcional y MEF para EDPs

6) Introducción a las EDPs mediante ejemplos clásicos.

Ecuaciones de calor, de onda, de Laplace, de Schöringer, Lamé, Stokes

y del plato. Simulaciones numéricas.

7) Formulación variacional para problemas elípticos.

Solución clásica y débil variacional. Teorema de Lax-Milgram y su aplicación a problemas elípticos en formulación variacional.

8) Espacios de Sobolev.

Espacio de funciones de ensayo y derivada débil. Espacios H¹(Ω) y

H_o¹(Ω). Fórmula de Green y teorema de Trazas. Resultados de compacidad y densidad. Espacios H^m(Ω), H(div) y W^m,p(Ω).

9) Matemática de los problemas elípticos.

Ecuación de Laplace con condiciones de frontera Dirichlet y Neumann. Propiedades cualitativas. Ecuaciones de Stokes y elasticidad.

10) Método de elemento finito.

Aproximación a la formulación variacional, método de Galerkin, princi-

pios generales del MEF. Elementos finitos en 1D. Elementos finitos P₁ ,

P₂ y de Hermite, estimación de error y convergencia.

Elementos finitos en nD, con, elementos triangulares y rectan-

gulares, estimación de error y convergencia, propiedades cualitativas.

MEF para problemas de Stokes.

11) Problemas del autovalor.

Solución de problemas no-estacionarios como motivación. Descomposi-

ción espectral de operadores compactos. Autovalores de un problema

elíptico, su formulación variacional, autovalores del laplaciano.

MEF para el problema del autovalor, estimación del error y

convergencia.

12) Problemas no-estacionarios.

Problemas parabólicos e hiperbólicos, buen planteamiento en sus formu-

lación variacional. Propiedades cualitativas. MEF para problemas

parabólicos e hiperbólicos.

NOTA. El curso se basará fundamentalmente el libro de Allaire [All].

Bibliografía básica:

[All] Allaire, G., Numerical Analysis and Optimization: An introduction to

mathematical modelling and numerical simulation, Oxford U. Press, 2007.

[Bre] Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential

Equations, 2010.

[Cia] Ciarlet, Ph.G., Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications,

SIAM, 2013.

[Gro] Groetsch, Ch. W., Elements of Applicable Functional Analysis, Dekker

1980.

[Sid] Siddiqi, Abul Hasan, Applied Funcional Analysis: Numerical Methods,

Wavelet Methods and Image Processing, Dekker 2004.

[Kan] Kantorovich, L.V., Akilov, G.P., Functional Analysis in Normed Spaces,

Macmillan 1964.

[Lax] Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley 2002.

[Zei] Zeidler E., Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical

Physics, Springer (1995).